拓撲子空間開集族傳遞性和包含映射與交換圖
\(X\) 是拓撲空間，\(A\subset X\)，則 \(A\) 上開集族
\(B\subset A\)，則 \(B\) 上開集族
子空間的開集顯然不一定是原空間的開集，但好像所有子空間拓撲都能有一樣的形式，為啥這么定義啊
度量空間的子空間的子空間的子空間的...集合，也能從開球的角度來判斷是不是開集，難道是為了這個嗎？
包含映射為連續映射
\(i: A\to X\) 為包含映射，\(A\subset X\)
\(\forall U\in \tau_X\)，有 \(i^{-1}(U) = U\cap A\) 為 \(A\) 中開集
包含映射不一定為開映射
\(i: A\to X\) 為包含映射，\(A\subset X\)
\(A\) 為 \(A\) 中開集，於是 \(i(A) = A\) 顯然可以是 \(X\) 中閉集
連續映射在子空間的限制
- \(f:X\to Y\)，\(A\subset X\)，那么是否有：
是
包含映射 \(i_A: A\to X\)，那么 \(f_A = f\circ i_A\)
由 包含映射為連續映射，可知 \(f|_A\) 連續
逆命題是否成立？
否：分段函數可以在每一段上連續，但在整體上不連續
\(g,f\) 一個連續另一個不連續，\(g\circ f\) 是否一定不連續？
是
\((g\circ f)^{-1}(U) = f^{-1}\circ g^{-1}\)
連續映射在子空間的限制 2
- 設 \(B\) 是 \(Y\) 的子集，\(i: B\to Y\) 是包含映射，\(f:X\to B\) 是映射，證明：
證明：
- \(\Longrightarrow\)
包含映射連續，顯然
- \(\Longleftarrow\)
\(\forall U \in B\)，\(i(U) = U\)，要證若 \(U\) 為 \(B\) 中開集，則 \(f^{-1}(U)\) 為 \(X\) 中開集
根據子空間拓撲定義，存在 \(Y\) 中開集 \(U'\) 使得 \(U'\cap B = U\)
- 答案：\(U = i^{-1}(U'), f^{-1}(U) = f^{-1}(i^{-1}(U')) = (i\circ f)^{-1}(U')\) 為開集
- \(i\) 是單射，不是滿射，\(\forall U \in B, i(U) = U, i^{-1}(U) = U\)
只有 \(i\) 是雙射才有 \(i^{-1}\) 是逆映射，這里的 \(i^{-1}(U)\) 僅表示 \(B\) 的原像，不是逆映射
事實上，很多開集 \(U'\) 都滿足 \(i^{-1}(U') = U\)，而滿足 \(i^{-1}(U') = U\) 的 \(U'\) 卻不一定是開集，例如有閉集 \(C\subset Y, C \cap B = \emptyset\)，有 \(i^{-1}(C \cup U) = U\)，這樣 \(C\cup U\) 可以不是開集
畫成交換圖如下
連續在子空間的限制 3
- \(f:X\to Y\) 是連續映射，那么 \(h: A\to f(A), x\mapsto f(x)\) 連續嗎？
\(f\circ i|_A = f|_A = h \circ i_{f(A)}\)，
由上面結果 連續映射在子空間的限制 2 有 \(h\) 連續
上面的交換圖取一半稍微變形一下得到上題結論：
同胚在子空間的限制
- \(f:X\to Y\) 是同胚，那么 \(h: A\to f(A), x\mapsto f(x)\) 是同胚嗎？
首先 \(h\) 顯然是雙射
從形式的對稱性來看，只需要證明 \(h\) 是連續映射，\(h^{-1}\) 同理也就是連續映射
\(f|_A\) 連續，而 \(i|_{f(A)}\circ h = f|_A = f\circ i_A\) 連續
故而 \(h\) 連續
交換圖這么牛？
或者用上面結論 連續在子空間的限制 3，直接得到 \(h\) 和 \(h^{-1}\) 連續，故而得證
這一結論可表述為 \(f:X\to Y\) 為同胚，則 \(f|_A: A\to Y\) 為嵌入映射
嵌入映射: 對於單連續映射 \(f:X\to Y\)，有 \(f: X\to f(X)\) 為同胚。例如 \(i\) 為嵌入映射