基礎拓撲學講義習題 1.0 基本群的定義

誤入歧途，學到這里大概就該拋開一切直觀，轉而用代數方法了

習題 p115

• 習題 p115
  • T₄
  • T₅
  • T₆
  • T₇ （題目描述有誤）
  • T₈

T₄

• 設 \(f:X\to Y\) 連續，\(x_i\in X, y_i=f(x_i), i=0,1\)。記 \(\omega\) 是從 \(x_0\) 到 \(x_1\) 的道路類。證明下面的同態圖表可交換：

即證 \(f_\pi \circ \omega_\# = (f\circ \omega)_\#\circ f_\pi\)

\(\forall a \in \pi_1(X, x_0)\)

• \(f_\pi \circ \omega_\#(a) = f\circ (\omega^{-1}a\omega)\)
• \((f\circ \omega)_\#\circ f_\pi(a) = (f\circ \omega)^{-1}(f\circ a)(f\circ \omega)\)

展開即可發現等價

T₅

• 設 \(A\) 是 \(X\) 的收縮核，\(i:A\to X\) 是包含映射，\(r: X\to A\) 是收縮映射。
  證明： \(\forall x_0 \in A\)
  • \(i_\pi:\pi_1(A, x_0)\to \pi_1(X, x_0)\) 是單同態
  • \(r_\pi: \pi_1(X, x_0)\to \pi_1(A, x_0)\) 是滿同態

• 拓撲空間 \(Y\) 的子集 \(B\) 稱為 \(Y\) 的一個收縮核，如果存在連續映射 \(r:Y\to B\)，使得 \(\forall x\in B, r(x) = x\)；稱 \(r\) 是 \(Y\) 到 \(B\) 的一個收縮映射
• 設 \(A\) 是 \(X\) 的子空間，\(i:A\to X\) 是包含映射。如果存在收縮映射 \(r:X\to A\)（即 \(r\circ i=id_A:A\to A\)），使得 \(i\circ r\simeq id_X:X\to X\)，就稱 \(A\) 是 \(X\) 的一個形變收縮核

證明：

從包含映射和收縮映射的定義有 \(r\circ i = id_A: A\to A\)

所以從基本群同態的復合 \(r_\pi\circ i_\pi= (r\circ i)_\pi = (id_A)_\pi\) 是同構，因而 \(i_\pi\) 是單同態，\(r_\pi\) 是滿同態

T₆

• 設 \(X\) 單連通，\(a,b\) 是 \(X\) 中有相同起，終點的道路，證明 \(a\underset{\dot{}}{\simeq}b\)

證明： 設 \(a, b\) 起，終點為 \(x_0, x_1\)，\(X\) 單連通故 \(\pi_1(X, x_0) = \{e\}\)

因而 \(\langle a\rangle \langle b\rangle ^{-1} = \langle ab^{-1}\rangle \in \pi_1(X, x_0)\)

所以 \(\langle ab^{-1}\rangle = e\)

所以 \(\langle ab^{-1}\rangle \langle b\rangle = e\langle b\rangle\)

即 \(\langle a\rangle = \langle b\rangle\)，得證

T₇ （題目描述有誤）

• 設 \(\omega, \omega'\) 是 \(x_0\) 到 \(x_1\) 的兩個道路類。證明：

\[\omega_\# = \omega_\#': \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(X, x_1)\\ \Updownarrow\\ \forall \alpha \in \pi_1(X, x_0), \omega\omega'^{-1}\alpha = \alpha\omega\omega'^{-1} \]

要注意 \(\omega, \omega'\) 是道路類，不是道路，\(\omega_\#, \omega_\#'\) 是由他們引出的基本群同態，\(\forall \alpha \in \pi_1(X, x_0)\) 也是基本群中的閉路類，不是閉路

證明：

\[\forall \alpha \in \pi_1(X, x_0)\\ \begin{aligned} \omega_\#=\omega_\#' &\Longleftrightarrow \omega^{-1}\alpha \omega = \omega'^{-1}\alpha \omega'\\ &\Longleftrightarrow \omega\omega^{-1}\alpha \omega = \omega\omega'^{-1}\alpha \omega'\\ &\Longleftrightarrow \omega\omega^{-1}\alpha \omega\omega'^{-1} = \omega\omega'^{-1}\alpha \omega'\omega'^{-1}\\ &\Longleftrightarrow e\alpha \omega\omega'^{-1} = \omega\omega'^{-1}\alpha e'\\ \end{aligned} \]

T₈

• 證明 若 \(x_0, x_1\) 在 \(X\) 的同一道路分支中，則
  從 \(x_0\) 到 \(x_1\) 的任一道路類決定相同的同構 \(\Longleftrightarrow\pi_1(X, x_0)\) 是交換群

證明：由 T7 結果，要證

\[\forall \omega, \omega'， \alpha \omega\omega'^{-1} = \omega\omega'^{-1}\alpha \Longleftrightarrow \forall a, b\in \pi_1(X, x_0), ab = ba \]

其中 \(\omega, \omega'\) 是 \(x_0\) 到 \(x_1\) 的兩個道路類

• \(\Longleftarrow\) 取 \(a = \alpha, b = \omega\omega'^{-1}\)，則顯然成立

• \(\Longrightarrow\) 設 \(\omega\) 是 \(x_0\) 到 \(x_1\) 道路類，則 \(b\omega\) 也是 \(x_0\) 到 \(x_1\) 道路類，\(\omega(b\omega)^{-1} = b\) 也在 \(\pi_1(X, x_0)\) 的中心，因而 \(ab=ba\)

此題演示了 \(x_0, x_1\) 之間道路類與 \(\pi_1(X, x_0)\) 的關系