分離公理和一些例子
分離公理
- \(T1\) :
任意兩點 \(x\) 和 \(y\)，總有 \(x\) 的（開）鄰域 \(A\) 使得 \(y \notin A\) - \(T2\) :
任意兩點 \(x\) 和 \(y\)，總有不相交（開）鄰域 - \(T3\) :
任意一點 \(x\) 和閉集 \(A\) 總有不相交開鄰域 - \(T4\) :
任意兩閉集 \(A, B\) 總有不相交開鄰域
刻畫
\(T1\)
等價於任意單點集是閉集 \(\iff\) 有限集是閉集
\(T2\) ( Hausdorff space )
命題 Hausdorff 空間一個序列不會收斂到兩個以上的點
\(T3\)
任意點 \(x\) 和他的開鄰域 \(W\)，存在 \(x\) 的開鄰域 \(U\) 使得 \(\overline{U} \subset W\)
\(T4\)
任意閉集 \(A\) 和他的開鄰域 \(W\)，存在 \(A\) 的開鄰域 \(U\) 使得 \(\overline{U} \subset W\)
舉例
\(T1\) 空間有推論 \(A\) 的聚點的鄰域與 \(A\) 的交為無窮集，這似乎暗示了有限集的拓撲空間必不滿足 \(T1\)，舉例來看一個有聚點的有限拓撲空間：
\(X = \{a, b\}, \tau = \{\emptyset, X, \{a\}\}\)，則 \((X, \tau)\) 構成拓撲空間，\(b\) 是 \(\{a\}\) 的聚點
\(b\) 的鄰域只有 \(X\)，\(X\cap\{a\} = \{a\}\) 為有限集
顯然不滿足 \(T1\)
有限集有聚點的例子很難找...這個例子好像看不出來什么東西