基礎拓撲學講義 1.13 基本群的同倫不變

點集拓撲以集合論為基石，其中的概念用集合來描述...

基本群的同倫不變

• 基本群的同倫不變
  • 基本群同胚不變
  • 基本群的直積
  • 平環和 \(S^1\)
  • 基本群同倫不變
  • 怎么會事呢

基本群同胚不變

\(f:X\to Y\) 是同胚，即 \(f\) 是連續開雙射，也可以像同倫型一樣，描述為:

• 對連續映射 \(f\)，存在連續映射 \(g:Y\to X\) 使得 \(g\circ f = id_X\) 且 \(f\circ g = id_Y\)

稱 \(f\) 是一個同胚映射，或者拓撲變換，或者簡稱同胚。此時 \(X\) 與 \(Y\) 同胚，記為 \(X\cong Y\)

即證 \(f_\pi: \pi_1(X, x_0)\to \pi_1(Y, f(x_0))\) 是同構，只需 \(f_\pi\) 既單又滿，但還可以更快

\(f_\pi \circ f^{-1}_\pi = (f\circ f^{-1})_\pi = (id_X)_\pi\) 顯然是同構

因此 \(f_\pi\) 是同構

基本群的直積

\[\pi_1(X\times Y, (x, y)) \cong \pi_1(X, x)\times \pi_1(Y, y) \]

這個命題 Armstrong 的書上好像有個相關例子，用兩個 \(E^1\) 上的道路復合出來一個 \(E^2\) 的道路，即 \(x, y\) 軸上的道路復合出來 \(xOy\) 平面上的道路:

\[P_{a, b}:I\to E^2\\P_{a, b}(t) = (a(t), b(t)) \]

其中 \(a, b\) 分別是 \(x, y\) 軸上的道路

設

\[\begin{aligned} \psi: \pi_1(X\times Y, (x, y))&\to \pi_1(X, x)\times \pi_1(Y, y)\\ \psi(\gamma) &= (j_X(\gamma), j_Y(\gamma)) \end{aligned} \]

其中 \(j_X, j_Y\) 是 \(X\times Y\) 到 \(X, Y\) 的投射

投射：\(\forall \gamma \in \pi_1(X\times Y, (x, y)), \gamma\) 可以寫為 \(\gamma(t) = (a(t), b(t))\) 的形式
\(\gamma(0) = \gamma(1) = (a(0), b(0)) = (a(1), b(1)) = (x, y)\)
那么定義投射 \(j_X(\gamma) = a, j_Y(\gamma) = b\)

道路直積的乘積好像沒形式定義，不過大概不影響（俺尋思就完事了

注意： 為了區分兩個寫法相同的概念，定義 \(\gamma = [a, b]\)，如果 \(\gamma(t) = (a(t), b(t))\)
按照上面的定義，則有

\[\psi([a, b]) = (a, b) \]

這樣就區分開了 \(\pi_1(X\times Y, (x, y))\) 和 \(\pi_1(X, x)\times \pi_1(Y, y)\) 中的元素。前者是道路，后者是道路的直積，不是道路

下面證明一個形式

\[\begin{aligned} [ac, bd](t) &= (ac(t), bd(t))\\ &= \begin{cases} (a(2t), b(2t)) &, 0 \le t\le 1/2\\ (c(2t-1), d(2t-1)) &, 1/2 \le t \le 1 \end{cases} \end{aligned} \]

這與道路的拼接一致:

\[\begin{aligned} [a, b][c, d] &= \begin{cases} [a,b](2t) &, 0 \le t\le 1/2\\ [c,d](2t-1) &, 1/2 \le t \le 1 \end{cases}\\ &= \begin{cases} (a(2t), b(2t)) &, 0 \le t\le 1/2\\ (c(2t-1), d(2t-1)) &, 1/2 \le t \le 1 \end{cases} \end{aligned} \]

因而 \([a, b][c, d] = [ac, bd]\)

• 是同態
  \[\begin{aligned}\psi(\gamma_1\gamma_2)&=\psi([a_1, b_1][a_2, b_2])\\ &=\psi([a_1a_2, b_1b_2])\\ &= (a_1a_2, b_1b_2)\\ &=(a_1, b_1)(a_2, b_2)\\ &=\psi(\gamma_1)\psi(\gamma_2)\end{aligned} \]
  其中 \((a_1a_2, b_1b_2) =(a_1, b_1)(a_2, b_2)\) 是直積自然有的乘積
• 滿
  \(\forall (a, b)\in \pi_1(X, x)\times \pi_1(Y, y)\)，構造 \(\gamma(t) = (a(t), b(t))\)
  則有 \(\psi(\gamma) = (a, b)\)
• 單
  \(\gamma_1 = [a_1, b_1], \gamma_2 = [a_2, b_2]\)，\(\gamma_1 \ne \gamma_2 \Longrightarrow (a_1 \ne a_2) \lor (b_1 \ne b_2)\)
  因而 \(\psi(\gamma_1) = (a_1, b_1) \ne (a_2, b_2) = \psi(\gamma_2)\)

上面沒有區分道路和道路類，不過實際上也沒有區分的必要吧，大概

平環和 \(S^1\)

平環 \(=S^1\times I\)，設平環基本群為 \(X\)，則有

\[X \cong \pi_1(S^1, 1) \times \pi_1(I, 0) \cong \pi_1(S^1, 1) \]

\(\pi_1(I, 0) = \{e_I\}\) 是平凡群，所以后面兩者有顯然的同構

基本群同倫不變

之前證明過了
對比同胚不變來看，\(p\in X, q = g\circ f(p)\in X\)，道路類 \(\gamma\) 從 \(p\) 到 \(q\)
只是多隔了一層 \(\gamma\) 誘導出來的同構。同構復合同構，還是同構

在同倫的眼光下，你無法區分 \(S^1\) 和平環，這種無差別用代數來描述，是因為他們有相同的基本群

整個第四章都是在建立代數與拓撲之間的關聯，在為后面研究拓撲打造代數的工具，可惜這課只上到覆疊空間。

怎么會事呢

假如你沒有耳朵，\(A\) 和 \(B\) 除了聲音之外一模一樣，你就無法區分 \(A,B\)

假如你沒有眼睛，烏鴉和人放在一起，你也叫不出誰在說話

\(\simeq\) 和 \(\cong\) 和 \(=\)，在一眾以集合為基石的概念中，\(=\) 大概代表集合完全相等，而 \(\cong\) 代表你無法用手中的工具來區分，\(\simeq\) 是一種保持一些性質的等價

• 集合中沒有 \(\cong\)，因為你用集合來區分集合，\(=\) 與 \(\cong\) 是相同的概念
• 拓撲中不同的拓撲空間可以同胚，他們是不同的集合，卻無法區分
• 在抽象代數（abstractalgebra)中，同構(isomorphism)指的是一個保持結構的雙射(bijection)
  • 群同構：\(G\cong G'\)，如果存在同態 \(\psi:G\to G'\) 是雙射
• 在更一般的范疇論語言中，同構指的是一個態射，且存在另一個態射，使得兩者的復合是一個恆等態射
  范疇是比集合更廣泛的概念，恆等態射應該有怎樣的性質？