基礎拓撲學講義 1.3 (鄰域，內點和內部)

鄰域，內點和內部

1. 內點和鄰域和內部
2. 命題
   1. 命題 1.1
   2. 命題 1.2
   3. 命題 1.3
   4. 命題 1.4
   5. 命題 1.5
   6. 命題 1.6
3. 一些結論

內點和鄰域和內部

鄰域(wiki)：If \(X\) is a topological space and \(p\) is a point in \(X\), a neighbourhood of \(p\) is a subset \(V\) of \(X\) that includes an open set \(U\) containing \(p\), such that

\[p\in U\sub V \]

書上定義： \(A\) 是拓撲空間 \(X\) 的子集，點 \(x\in A\) 且存在開集 \(U\)，使得 \(x\in U \sub A\)，則稱 \(x\) 是 \(A\) 的一個內點，\(A\) 是 \(x\) 的一個鄰域（我這里和后面為了方便打字，記 \(x\) 的某個鄰域為 \(U(x)\). \(A\) 的所有內點稱為 \(A\) 的內部

命題

命題 1.1

\(A\sub B \to \mathring{A} \sub \mathring{B}\)

證明：

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \forall x \in \mathring{A} }{ \exist U(x) \sub A }, A\sub B }{ U(x) \sub B } }{ x \in \mathring{B} } }{ \mathring{A} \sub \mathring{B} } \]

命題 1.2

\(\mathring{A}\) 是包含在 \(A\) 中的所有開集的並集，因此是包含在 \(A\) 中的最大開集

令 \(E=\{S~is~open~|~S\sub A\}\)

要證

\[\mathring{A} = \bigcup_{S\in E}S \]

1. 左 \(\sub\) 右

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \forall x \in \mathring{A} }{ \exist U(x) \sub A }, generally, ~U(x)~is~open }{ U(x) \in E } }{ \mathring{A} \sub \bigcup_{S\in E}S } \]

2. 右 \(\sub\) 左

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \forall x\in \bigcup_{S\in E}S }{ \exist S_0 \in E\to x\in S_0 }, \dfrac{ S_0 \in E }{ S_0~is~open } }{ x\in \mathring{A} } }{ \bigcup_{S\in E}S \sub \mathring{A} } \]

命題 1.3

\(\mathring{A} = A \iff A\) 是開集

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \mathring{A} = A, \mathring{A}~is~open }{A~is~open} }{ \mathring{A} = A \to A~is~open }, \dfrac{ \dfrac{ \mathring{A}~is~the~max~open~set, \dfrac{ A~is~the~max~set\sub A, A~is~open }{ A~is~the~max~open~set\sub A } }{ \mathring{A} = A } }{ A~is~open \to \mathring{A} = A } }{ \mathring{A} = A \iff A~is~open } \]

命題 1.4

\((A\cap B)^{\circ} = \mathring{A}\cap \mathring{B}\)

1. 左 \(\sub\) 右

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \forall x \in (A\cap B)^\circ }{ \exist U(x) \sub A \cap B } }{ \dfrac{U(x) \sub A}{x\in \mathring{A}}, \dfrac{U(x) \sub B}{x\in \mathring{B}} } }{x\in \mathring{A}\cap \mathring{B}} }{ (A\cap B)^{\circ} \sub \mathring{A}\cap \mathring{B} } \]

2. 右 \(\sub\) 左

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \dfrac{\forall x\in \mathring{A}\cap \mathring{B} }{ \dfrac{x\in \mathring{A}}{ \exist U_1(x)\sub A }, \dfrac{x\in \mathring{B}}{ \exist U_2(x)\sub B }, U_1, U_2~is~open } }{ (U_1\cap U_2) \sub A\cap B}\land (U_1\cap U_2)~is~open }{ x\in \mathring{B} \sub (A\cap B)^\circ } }{ \mathring{A}\cap \mathring{B} \sub (A\cap B)^{\circ} } \]

命題 1.5

\((A\cup B)^{\circ} \supset \mathring{A}\cup \mathring{B}\)

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \forall x \in \mathring{A}\cup \mathring{B} }{ Assume~x\in \mathring{A} } }{ \exist U(x) \sub A\sub (A\cup B) } }{x\in (A\cup B)^\circ} }{ \mathring{A}\cup \mathring{B} \sub (A\cup B)^\circ } \]

命題 1.6

\((A\cup B)^{\circ} \sub \mathring{A}\cup \mathring{B}\) 有時不成立

例如當 \(A=(-1,0], B=[0, 1)\) 時
\((A\cup B)^{\circ} = (-1,1)\)
\(\mathring{A}\cup \mathring{B} = (-1,0)\cup (0, 1)\)

什么樣的點 \(x\) 不是 \(A, B\) 的內點，卻是 \(A\cup B\) 的內點呢

一些結論

通過命題_1.3 可以得到一個判斷集合是否是開集的判定條件，后面通過閉包也可以得到判斷集合是否是閉集的判定條件：

1. \(\mathring{A} = A\iff A\) 是開集
2. \(\bar{A}= A \iff A\) 是閉集

自此我們可以看出，\((0, 1]\) 既不是開區間也不是閉區間