基础拓扑学讲义 1.3 (邻域，内点和内部)

邻域，内点和内部

1. 内点和邻域和内部
2. 命题
   1. 命题 1.1
   2. 命题 1.2
   3. 命题 1.3
   4. 命题 1.4
   5. 命题 1.5
   6. 命题 1.6
3. 一些结论

内点和邻域和内部

邻域(wiki)：If \(X\) is a topological space and \(p\) is a point in \(X\), a neighbourhood of \(p\) is a subset \(V\) of \(X\) that includes an open set \(U\) containing \(p\), such that

\[p\in U\sub V \]

书上定义： \(A\) 是拓扑空间 \(X\) 的子集，点 \(x\in A\) 且存在开集 \(U\)，使得 \(x\in U \sub A\)，则称 \(x\) 是 \(A\) 的一个内点，\(A\) 是 \(x\) 的一个邻域（我这里和后面为了方便打字，记 \(x\) 的某个邻域为 \(U(x)\). \(A\) 的所有内点称为 \(A\) 的内部

命题

命题 1.1

\(A\sub B \to \mathring{A} \sub \mathring{B}\)

证明：

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \forall x \in \mathring{A} }{ \exist U(x) \sub A }, A\sub B }{ U(x) \sub B } }{ x \in \mathring{B} } }{ \mathring{A} \sub \mathring{B} } \]

命题 1.2

\(\mathring{A}\) 是包含在 \(A\) 中的所有开集的并集，因此是包含在 \(A\) 中的最大开集

令 \(E=\{S~is~open~|~S\sub A\}\)

要证

\[\mathring{A} = \bigcup_{S\in E}S \]

1. 左 \(\sub\) 右

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \forall x \in \mathring{A} }{ \exist U(x) \sub A }, generally, ~U(x)~is~open }{ U(x) \in E } }{ \mathring{A} \sub \bigcup_{S\in E}S } \]

2. 右 \(\sub\) 左

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \forall x\in \bigcup_{S\in E}S }{ \exist S_0 \in E\to x\in S_0 }, \dfrac{ S_0 \in E }{ S_0~is~open } }{ x\in \mathring{A} } }{ \bigcup_{S\in E}S \sub \mathring{A} } \]

命题 1.3

\(\mathring{A} = A \iff A\) 是开集

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \mathring{A} = A, \mathring{A}~is~open }{A~is~open} }{ \mathring{A} = A \to A~is~open }, \dfrac{ \dfrac{ \mathring{A}~is~the~max~open~set, \dfrac{ A~is~the~max~set\sub A, A~is~open }{ A~is~the~max~open~set\sub A } }{ \mathring{A} = A } }{ A~is~open \to \mathring{A} = A } }{ \mathring{A} = A \iff A~is~open } \]

命题 1.4

\((A\cap B)^{\circ} = \mathring{A}\cap \mathring{B}\)

1. 左 \(\sub\) 右

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \forall x \in (A\cap B)^\circ }{ \exist U(x) \sub A \cap B } }{ \dfrac{U(x) \sub A}{x\in \mathring{A}}, \dfrac{U(x) \sub B}{x\in \mathring{B}} } }{x\in \mathring{A}\cap \mathring{B}} }{ (A\cap B)^{\circ} \sub \mathring{A}\cap \mathring{B} } \]

2. 右 \(\sub\) 左

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \dfrac{\forall x\in \mathring{A}\cap \mathring{B} }{ \dfrac{x\in \mathring{A}}{ \exist U_1(x)\sub A }, \dfrac{x\in \mathring{B}}{ \exist U_2(x)\sub B }, U_1, U_2~is~open } }{ (U_1\cap U_2) \sub A\cap B}\land (U_1\cap U_2)~is~open }{ x\in \mathring{B} \sub (A\cap B)^\circ } }{ \mathring{A}\cap \mathring{B} \sub (A\cap B)^{\circ} } \]

命题 1.5

\((A\cup B)^{\circ} \supset \mathring{A}\cup \mathring{B}\)

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \forall x \in \mathring{A}\cup \mathring{B} }{ Assume~x\in \mathring{A} } }{ \exist U(x) \sub A\sub (A\cup B) } }{x\in (A\cup B)^\circ} }{ \mathring{A}\cup \mathring{B} \sub (A\cup B)^\circ } \]

命题 1.6

\((A\cup B)^{\circ} \sub \mathring{A}\cup \mathring{B}\) 有时不成立

例如当 \(A=(-1,0], B=[0, 1)\) 时
\((A\cup B)^{\circ} = (-1,1)\)
\(\mathring{A}\cup \mathring{B} = (-1,0)\cup (0, 1)\)

什么样的点 \(x\) 不是 \(A, B\) 的内点，却是 \(A\cup B\) 的内点呢

一些结论

通过命题_1.3 可以得到一个判断集合是否是开集的判定条件，后面通过闭包也可以得到判断集合是否是闭集的判定条件：

1. \(\mathring{A} = A\iff A\) 是开集
2. \(\bar{A}= A \iff A\) 是闭集

自此我们可以看出，\((0, 1]\) 既不是开区间也不是闭区间