同伦与道路

同伦与道路
- 同伦和道路的关系
  - 例子
- 基本群是同伦不变量
  - 定理 5.17 (Armstrong p90)
  - 定理 5.18 (Armstrong p91)

同伦和道路的关系

两个映射 $f, g: X\to Y$ 有同伦 $H:f\simeq g$

\[\begin{aligned} H: X\times I&\to Y\\ (s, t)&\mapsto H(s, t)\\ H(s, 0)=f(s)&, H(s, 1) = g(s) \end{aligned} \]

$\gamma(t) = H(a, t)$ 是 $Y$ 上 $f(a)$ 到 $g(a)$ 的道路，由 $H$ 决定，称为 $H$ 在 $a$ 处的踪

例子

$f:X\to Y, g: Y\to X$，有 $H:f\circ g\simeq 1_X$

$\forall x\in X, \gamma_x(t) = H(x, t)$ 导出了一条从 $f\circ g(x)$ 到 $x$ 的道路

基本群是同伦不变量

定理 5.17 (Armstrong p90)

若 $f\underset{F}{\simeq}g: X\to Y$，则 $g_* = \gamma_*\circ f_*$
其中 $\gamma_*(t) = F(p, t)$，是 $Y$ 中 $f(p)$ 到 $g(p)$ 的道路

$f$ 定义了从 $X$ 的基本群到 $Y$ 的基本群的映射 $f_*$ （基本群同构需要同伦等价）

\[\begin{aligned}f_*: \pi_1(X, p)&\to \pi_1(Y, f(p))\\\langle \alpha \rangle &\mapsto \langle f\circ \alpha\rangle\end{aligned} \]

$\gamma$ 是 $Y$ 上从 $f(p)$ 到 $g(p)$ 的道路，它定义了从基本群 $\pi_1(Y, f(p))$ 到基本群 $\pi_1(Y, g(p))$ 的同构 $$\begin{aligned}\gamma_*: \pi_1(Y, f(p))&\to \pi_1(Y, g(p))\\langle \alpha \rangle &\mapsto \langle \gamma^{-1}\alpha\gamma\rangle\end{aligned}$$

$\forall p \in X, \forall \alpha \in \pi_1(X, p)$，我们有

\[\begin{aligned} \gamma_*\circ f_*(\alpha) &= \langle \gamma^{-1} (f\circ \alpha)\gamma\rangle \\ g_* (\alpha) &= \langle g\circ \alpha \rangle \end{aligned} \]

即要证 $\gamma^{-1} (f\circ \alpha)\gamma \simeq g\circ \alpha$

由上图可以看出，$f\circ \alpha, g\circ \alpha, \gamma, \gamma^{-1}$ 都是 $Y$ 上道路，并且由 $\alpha(0)=\alpha(1)=p$ 我们有

\[\begin{cases} f\circ \alpha(0) &= f\circ \alpha(1) &= f(p)\\ g\circ \alpha(0) &= g\circ \alpha(1) &= g(p)\\ \gamma(0) &= \gamma^{-1}(1)&=f(p)\\ \gamma(1) &= \gamma^{-1}(0)&=g(p) \end{cases} \]

接下来利用

$f\simeq g\Longrightarrow \gamma \circ f \simeq \gamma \circ g$ （这是同伦的传递性的直接推论）
$I\times I$ 是 $E^2$ 凸集

构造出要求的同伦

概括描述构造方法如下：

首先 $I\times I$ 的上边记为 $a$，左下右三边连起来记为 $b$，由于 $a, b$ 是 $I\times I$ 上道路，而 $I\times I$ 为凸集，所以有 $a\underset{\dot{}}{\simeq}b$
接下来，我们需要构造连续映射 $G: I\times I\to Y$，$G$ 需要满足 $$\begin{aligned}G\circ a &= g\circ \alpha\ G\circ b &= \gamma^{-1} (f\circ \alpha)\gamma\end{aligned}$$
使 $G$ 与 $a, b$ 复合，于是 $G\circ a\underset{\dot{}}{\simeq}G\circ b$

怎么粘出来 $G$ 捏

因为 $f\underset{F}{\simeq}g: X\to Y$，所以直接令 $G(s, t) = F(\alpha(s), t)$

$F, \alpha$ 都连续，因而 $G$ 连续

接下来把 $a, b$ 写出来

\[\begin{cases} a(t) &= (0, t)\\ b &= b_1b_2b_3\\ b_1(t) &= (0, -t)\\ b_2(t) &= (t, 0)\\ b_3(t) &= (1, t) \end{cases} \]

则

\[\begin{cases} G\circ a &= G(\alpha(t), 1) = g\circ \alpha(t)\\ G\circ b &= G\circ (b_1b_2b_3) \\ &= (G\circ b_1)(G\circ b_2)(G\circ b_3)\\ G\circ b_1(t) &= G(\alpha(0), -t) =\gamma^{-1}(t)\\ G\circ b_2(t) &= G(\alpha(t), 0) =f\circ \alpha(t)\\ G\circ b_3(t) &= G(\alpha(1), t) =\gamma(t)\\ \end{cases} \]

满足要求

定理 5.18 (Armstrong p91)

若两个道路连通空间有相同的同伦型，则他们有同构的基本群

$f:X\to Y, g:Y\to X$
$f\circ g\underset{F}{\simeq} 1_Y, g\circ f\underset{G}{\simeq} 1_X$

$\forall q\in Y$，记 $p = g(q), \gamma_p(t) = G(p, t)$ 是 $X$ 中 $p$ 到 $g\circ f(p)$ 的道路

由定理 5.17 知，$(\gamma_p)_*\circ (1_X)_* = (g\circ f)_*$

即 $(\gamma_p)_*=g_* \circ f_*$，由于 $(\gamma_p)_*$ 为同构，所以 $f_*$ 一定是单同态，$g_*$ 一定是满同态

否则 $\exists \alpha_1 \ne \alpha_2, f_*(\alpha_1) = f_*(\alpha_2)$
必有 $(\gamma_p)_*(\alpha_1) = (\gamma_p)_*(\alpha_2)$ 矛盾

对称的，可以得到 $g_*$ 一定是单同态，$f_*$ 一定是满同态

因而 $f_*, g_*$ 都是同构

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