基础拓扑学讲义 1.6 拓扑函数连续与欧氏空间

拓扑函数连续与欧氏空间

今天才发现原来欧氏空间的函数连续也是倒着定义的...

下面看看欧氏空间连续函数的定义，跟拓扑的函数连续的定义是不是一致的。

• 拓扑函数连续与欧氏空间
  • 欧氏空间
    • 函数点连续
    • 函数连续
  • 参考

欧氏空间

函数点连续

函数 \(f\) 在一点 \(x_0\) 处连续定义为：

\[\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\rightarrow f(x_0) \]

再翻译成 \(\delta-\epsilon\) 语言就是：\(\forall \epsilon > 0, \exists \delta >0\) 使得只要 \(|x-x_0| < \delta\) 就有 \(|f(x) - f(x_0)| < \epsilon\)

用开集语言来说，就是：\(\forall \epsilon > 0, \exists \delta >0\) 使得 \(f(U(x_0, \delta)) \subset U(f(x_0), \epsilon)\)

函数连续

满射 \(f\) 把 \(A\) 映射到 \(B\)，\(A,B\subset E^1\)，那么说 \(f\) 连续，也就是说 \(f\) 在 \(A\) 上每一点都连续。

假设 \(B\) 是开集，那么 \(\forall y\in B\)，可以找到开邻域 \(U(y)\subset B\)，根据点连续的定义，可以找到开集 \(\bigcup U(f^{-1}(y))\) 使得 \(f(\bigcup U(f^{-1}(y))) = \bigcup f(U(f^{-1}(y)))\subset U(y)\)

因而 \(\bigcup U(f^{-1}(y)) \subset A = f^{-1}(B)\)

对 \(B\) 中所有点找到这样的开集，再并起来，就是 \(A\)，显然也是开集。

参考

提了个问

有位匿名用户说：

开集的多少反映了空间连续性（准确地说是连通性，非分离性）的强弱，或者说反映了空间的分离性的弱强。
开集越多，分离性越好，连通性越差（极端情况就是离散拓扑）。反之，开集越少，分离性越差，连通性越好（极端情况就是平凡拓扑）。

深受震撼

离散拓扑应该是满足所有分离公理的，同时有两个点以上的离散拓扑是不连通的，可能这就是离散的意思。