拓撲函數連續與歐氏空間
今天才發現原來歐氏空間的函數連續也是倒着定義的...
下面看看歐氏空間連續函數的定義，跟拓撲的函數連續的定義是不是一致的。
歐氏空間
函數點連續
函數 \(f\) 在一點 \(x_0\) 處連續定義為：
再翻譯成 \(\delta-\epsilon\) 語言就是：\(\forall \epsilon > 0, \exists \delta >0\) 使得只要 \(|x-x_0| < \delta\) 就有 \(|f(x) - f(x_0)| < \epsilon\)
用開集語言來說，就是：\(\forall \epsilon > 0, \exists \delta >0\) 使得 \(f(U(x_0, \delta)) \subset U(f(x_0), \epsilon)\)
函數連續
滿射 \(f\) 把 \(A\) 映射到 \(B\)，\(A,B\subset E^1\)，那么說 \(f\) 連續，也就是說 \(f\) 在 \(A\) 上每一點都連續。
假設 \(B\) 是開集，那么 \(\forall y\in B\)，可以找到開鄰域 \(U(y)\subset B\)，根據點連續的定義，可以找到開集 \(\bigcup U(f^{-1}(y))\) 使得 \(f(\bigcup U(f^{-1}(y))) = \bigcup f(U(f^{-1}(y)))\subset U(y)\)
因而 \(\bigcup U(f^{-1}(y)) \subset A = f^{-1}(B)\)
對 \(B\) 中所有點找到這樣的開集，再並起來，就是 \(A\)，顯然也是開集。
參考
有位匿名用戶說：
開集的多少反映了空間連續性（准確地說是連通性，非分離性）的強弱，或者說反映了空間的分離性的弱強。
開集越多，分離性越好，連通性越差（極端情況就是離散拓撲）。反之，開集越少，分離性越差，連通性越好（極端情況就是平凡拓撲）。
深受震撼
離散拓撲應該是滿足所有分離公理的，同時有兩個點以上的離散拓撲是不連通的，可能這就是離散的意思。