學習這門課程有兩大任務：學習這門課程的知識、學習邏輯推理的方法．
首先我們要明確：拓撲學研究的是什么？
我們知道，數學各個分支研究了各個不同的數學空間（數學集合），它們各具有不同的性質．這些集合有沒有共性呢？它們最基礎的結構是什么？
拓撲學研究的對象就是高度抽象了的這些數學空間的具有最基礎結構的空間．它們只具有最基本的數學要求：開集．當然，為了能進行數學運算，這些開集必須滿足 P55 的定義 2.2.1．我們把這樣的空間稱為拓撲空間．
拓撲學以拓撲空間為基本研究對象，運用集合運算的知識，延拓出閉集、導集、閉包、序列、基、子基等概念．
拓撲學以數學分析中的實數空間為基准，在拓撲空間中不斷添加一些公理，構成了連通空間、可數性公理空間、分離性公理空間、緊致性空間等．它們與實數空間在哪些方面是相同的？
拓撲學研究連續映射、同胚變換，並研究在這些映射、變換之下，拓撲空間的哪些性質能被保留，哪些不能被保留？
拓撲學還研究了哪些性質能被遺傳、有限可積、可商．
這是一門邏輯性極強的極抽象的推理性的課程．學習的難度較大，但學好了它，對數學能力的提高有很大的作用．
其次，只有掌握了這門課程的證明方法（邏輯推理的方法），才能稱得上學好了這門課程．
學習這門課程，提醒大家注意以下幾點：
（1）熟練掌握證明集合運算的常用方法．
如：要證明 $A\subset B$, $A=B$, $A$ 為開集 ($A\in\scrT$), $f$ 連續, $A$ 為閉集, $x\in d(A)$, $\sed{x_n}$ 收斂, $X$ 為 $A_1,A_2$, Lindeloff, $T_1, T_2,T_3,T_4$ 空間,正則空間,正規空間,完全正則空間，$X$ 為緊致空間等，應從哪兒入手？
（2）熟練掌握各種定義、定理，因為證明某個命題，往往是從定義出發去證明的．
（3）證明某個命題，要證到什么程度才算證完，要心中有數．證明的開頭應如何寫？
（4）每一步推理均要有根有據，根據只能是前面的定義、定理，有時也可參考一下集合的文氏圖．
（5）證明時用到的根據切不可將數學分析中的結論想當然地引入，因為數學分析中的實數空間是非常完美的度量（拓撲）空間，既是 $A_1,A_2$ 的，又是 $T_4$ 的，…而要證的命題不一定具備這樣的條件．
摘自: http://www.doc88.com/p-945522450511.html