證明 \(n\ge 2\) 時 \(S^n\) 單連通
命題 4.11 （p119）
- 設 \(X_1, X_2\) 都是 \(X\) 的開集，其中 \(X_2\) 是單連通的，並且 \(X_1 \cup X_2 = X, X_0 = X_1 \cap X_2 \ne \emptyset\)，\(X_0\) 道路連通，則：
\(i_\pi: \pi_1(X_1, x_0)\to \pi_1(X, x_0)\) 是滿同態，這里 \(i: X_1\to X\) 是包含映射，\(x_0\in X_1\)
首先稍作分析，\(X_2\) 是單連通的，跟 \(X_1\) 有交集，這是否說明 \(X_1\) 與 \(X\) 有相同的結構？
並不，如上圖。 \(X_1\) 是圓盤開洞，\(X_2\) 是圓盤，\(X = X_1\cup X_2\) 反而是單連通的。
這也說明 \(i_\pi\) 不一定是單同態，因為這里 \(i_\pi\) 將 \(X_1\) 中所有閉路類映為 \(X\) 中同一個閉路類
證明
\(\pi_1(X, x_0)\) 中閉路類 \(\langle a \rangle\)，取代表元閉路 \(a\)
設 \(U_1 = a^{-1}(X_1), U_2 = a^{-1}(X_2)\)，\(U_1, U_2\) 各是一族 \(I\) 上開區間，顯然有 \(U_1\cup U_2\) 構成 \(I\) 開覆蓋
因而由 Lebesgue 引理，\(I\) 能被分割為有限多閉區間小段，使得每一小段都分別落在 \(U_1\) 或 \(U_2\) 當中
舉例來說可以看上圖，\(a:I\to X\) 也隨着 \(I\) 被划分為三段。\(I = I_1 \cup I_2 \cup I_3\)，且有 \(I_1, I_3\) 能被包含在 \(U_1\) 元素中, \(I_2\) 能被包含在 \(U_2\) 的元素中
如果 \(a\) 上有對應切割點不在 \(X_0\) 中，比如上圖的點 \(c\)，那么連着點 \(c\) 的兩端必然都在 \(X_2\) 當中，這一點在划分 \(I\) 時得到保證。
因而歸納地去掉所有不在 \(X_0\) 中的切割點，剩下的划分仍然滿足每一小段都分別落在 \(U_1\) 或 \(U_2\) 當中
於是我們得到了一個切割點全在 \(X_0\) 中的 \(I\) 的划分，就像上圖（去掉 \(c\)）
由於 \(X_2\) 單連通，所以藍色部分和棕色部分定端同倫，他們連接上剩下的道路仍然定端同倫（道路類乘積），因而 \(a\) 總能找到對應的 \(X_0\) 中閉路定端同倫
\(X_2\) 單連通不可缺少
像這樣，\(X_1\) 單連通，\(X\) 是個 \(S^1\)，基本群同態必然不滿射
事實上，\(X_1\) 中找不到一條閉路與 \(a\) 定端同倫
\(X_0\) 道路連通的條件不可缺少
舉例說明
兩個單連通的空間並起來是 \(S^1\)
\(S^2\) 單連通
\(S^2\) 上取不同兩點 \(s_0, s_1\)，則:
記 \(U_1 = S^2-\{s_0\}\cong E^2, U_2 = S^2-\{s_1\}\cong E^2\)
\(U_1, U_2\) 兩個空間都單連通，並為 \(S^2\)，交是 \(S^2\) 挖兩個洞，也是 \(E^2\) 挖一個洞，所以非空且道路連通，因而 \(\forall x_0\in U_1 \subset S^2\)，都有
\(i_\pi: \pi_1(U_1, x_0)\to \pi_1(S^2, x_0)\) 是滿同態，故而 \(S^2\) 單連通
\(n > 2\) 同理，利用 \(S^n-\{x\} \cong E^n\)