粘合映射不是開映射
定義
- 粘合映射 \(p\)：\(p\) 是等價關系誘導出的映射，故而必為滿射。
\((X, \tau)\) 是拓撲空間，\(\sim\) 是集合 \(X\) 上的一個等價關系，規定商集 \(X/\sim\) 上的子集族
\[\tilde{\tau}:=\{V\subset X/\sim|p^{-1}(V)\in \tau\} \]
則 \(\tilde{\tau}\) 是 \(X/\sim\) 上的一個拓撲，稱為 \(\tau\) 在 \(\sim\) 下的商拓撲。
換個說法就是 \(X/\sim\) 的所有原像為開集的子集都是開集，這是否說明 \(p\) 是開映射？
答案是並不，為了說明它不是開映射，我們需要找到 \(p\) 把開集映射到非開集的反例。
首先簡單分析一下，假設 \(p(U) = V\)，\(U\) 為開集，\(V\) 不為開集。根據 \(\tilde{\tau}\) 的定義，\(p^{-1}(V)\) 不為開集。那么思路來了，只需要取 \(X\) 上閉集 \(A\) 使得 \(p(A)\subset V\) 即可。
同胚映射 \(f\)
同胚 = 雙射 + 連續 + 開/閉映射
雙射 \(f\) 為開映射，則必是閉映射，因為 \(f(A^C) = (f(A)^C)\)