基礎拓撲學講義 1.11 同倫與道路

同倫與道路

• 同倫與道路
  • 同倫和道路的關系
    • 例子
  • 基本群是同倫不變量
    • 定理 5.17 (Armstrong p90)
    • 定理 5.18 (Armstrong p91)

同倫和道路的關系

兩個映射 \(f, g: X\to Y\) 有同倫 \(H:f\simeq g\)

\[\begin{aligned} H: X\times I&\to Y\\ (s, t)&\mapsto H(s, t)\\ H(s, 0)=f(s)&, H(s, 1) = g(s) \end{aligned} \]

\(\gamma(t) = H(a, t)\) 是 \(Y\) 上 \(f(a)\) 到 \(g(a)\) 的道路，由 \(H\) 決定，稱為 \(H\) 在 \(a\) 處的蹤

例子

\(f:X\to Y, g: Y\to X\)，有 \(H:f\circ g\simeq 1_X\)

\(\forall x\in X, \gamma_x(t) = H(x, t)\) 導出了一條從 \(f\circ g(x)\) 到 \(x\) 的道路

基本群是同倫不變量

定理 5.17 (Armstrong p90)

• 若 \(f\underset{F}{\simeq}g: X\to Y\)，則 \(g_* = \gamma_*\circ f_*\)
  其中 \(\gamma_*(t) = F(p, t)\)，是 \(Y\) 中 \(f(p)\) 到 \(g(p)\) 的道路

• \(f\) 定義了從 \(X\) 的基本群到 \(Y\) 的基本群的映射 \(f_*\) （基本群同構需要同倫等價）

\[\begin{aligned}f_*: \pi_1(X, p)&\to \pi_1(Y, f(p))\\\langle \alpha \rangle &\mapsto \langle f\circ \alpha\rangle\end{aligned} \]

• \(\gamma\) 是 \(Y\) 上從 \(f(p)\) 到 \(g(p)\) 的道路，它定義了從基本群 \(\pi_1(Y, f(p))\) 到基本群 \(\pi_1(Y, g(p))\) 的同構 $$\begin{aligned}\gamma_*: \pi_1(Y, f(p))&\to \pi_1(Y, g(p))\\langle \alpha \rangle &\mapsto \langle \gamma^{-1}\alpha\gamma\rangle\end{aligned}$$

\(\forall p \in X, \forall \alpha \in \pi_1(X, p)\)，我們有

\[\begin{aligned} \gamma_*\circ f_*(\alpha) &= \langle \gamma^{-1} (f\circ \alpha)\gamma\rangle \\ g_* (\alpha) &= \langle g\circ \alpha \rangle \end{aligned} \]

即要證 \(\gamma^{-1} (f\circ \alpha)\gamma \simeq g\circ \alpha\)

由上圖可以看出，\(f\circ \alpha, g\circ \alpha, \gamma, \gamma^{-1}\) 都是 \(Y\) 上道路，並且由 \(\alpha(0)=\alpha(1)=p\) 我們有

\[\begin{cases} f\circ \alpha(0) &= f\circ \alpha(1) &= f(p)\\ g\circ \alpha(0) &= g\circ \alpha(1) &= g(p)\\ \gamma(0) &= \gamma^{-1}(1)&=f(p)\\ \gamma(1) &= \gamma^{-1}(0)&=g(p) \end{cases} \]

接下來利用

• \(f\simeq g\Longrightarrow \gamma \circ f \simeq \gamma \circ g\) （這是同倫的傳遞性的直接推論）
• \(I\times I\) 是 \(E^2\) 凸集

構造出要求的同倫

概括描述構造方法如下：

• 首先 \(I\times I\) 的上邊記為 \(a\)，左下右三邊連起來記為 \(b\)，由於 \(a, b\) 是 \(I\times I\) 上道路，而 \(I\times I\) 為凸集，所以有 \(a\underset{\dot{}}{\simeq}b\)
• 接下來，我們需要構造連續映射 \(G: I\times I\to Y\)，\(G\) 需要滿足 $$\begin{aligned}G\circ a &= g\circ \alpha\ G\circ b &= \gamma^{-1} (f\circ \alpha)\gamma\end{aligned}$$
• 使 \(G\) 與 \(a, b\) 復合，於是 \(G\circ a\underset{\dot{}}{\simeq}G\circ b\)

怎么粘出來 \(G\) 捏

因為 \(f\underset{F}{\simeq}g: X\to Y\)，所以直接令 \(G(s, t) = F(\alpha(s), t)\)

\(F, \alpha\) 都連續，因而 \(G\) 連續

接下來把 \(a, b\) 寫出來

\[\begin{cases} a(t) &= (0, t)\\ b &= b_1b_2b_3\\ b_1(t) &= (0, -t)\\ b_2(t) &= (t, 0)\\ b_3(t) &= (1, t) \end{cases} \]

則

\[\begin{cases} G\circ a &= G(\alpha(t), 1) = g\circ \alpha(t)\\ G\circ b &= G\circ (b_1b_2b_3) \\ &= (G\circ b_1)(G\circ b_2)(G\circ b_3)\\ G\circ b_1(t) &= G(\alpha(0), -t) =\gamma^{-1}(t)\\ G\circ b_2(t) &= G(\alpha(t), 0) =f\circ \alpha(t)\\ G\circ b_3(t) &= G(\alpha(1), t) =\gamma(t)\\ \end{cases} \]

滿足要求

定理 5.18 (Armstrong p91)

• 若兩個道路連通空間有相同的同倫型，則他們有同構的基本群

\(f:X\to Y, g:Y\to X\)
\(f\circ g\underset{F}{\simeq} 1_Y, g\circ f\underset{G}{\simeq} 1_X\)

\(\forall q\in Y\)，記 \(p = g(q), \gamma_p(t) = G(p, t)\) 是 \(X\) 中 \(p\) 到 \(g\circ f(p)\) 的道路

由定理 5.17 知，\((\gamma_p)_*\circ (1_X)_* = (g\circ f)_*\)

即 \((\gamma_p)_*=g_* \circ f_*\)，由於 \((\gamma_p)_*\) 為同構，所以 \(f_*\) 一定是單同態，\(g_*\) 一定是滿同態

否則 \(\exists \alpha_1 \ne \alpha_2, f_*(\alpha_1) = f_*(\alpha_2)\)
必有 \((\gamma_p)_*(\alpha_1) = (\gamma_p)_*(\alpha_2)\) 矛盾

對稱的，可以得到 \(g_*\) 一定是單同態，\(f_*\) 一定是滿同態

因而 \(f_*, g_*\) 都是同構