基礎拓撲學講義 1.4 (聚點和閉包)

聚點和閉包

1. 聚點
2. 導集
3. 閉包
4. 性質
   1. 命題 1.1
   2. 命題 1.2
   3. 命題 1.3
   4. 命題 1.4
   5. 命題 1.5
   6. 命題 1.6
   7. 命題 1.7

聚點

A limit point (or cluster point or accumulation point)

wiki:

聚點: Let \(S\) be a subset of a topological space \(X\). A point \(x\) in \(X\) is a limit point or cluster point or accumulation point of a set of \(S\) if every neighbourhood of \(x\) contains at least one point of \(S\) different from \(x\) itself.

書上：\(A\) 是拓撲空間 \(X\) 的子集，\(x\in X\)。如果 \(x\) 的每個鄰域都含有 \(A-\{x\}\) 中的點，則稱 \(x\) 為 \(A\) 的聚點

中文這教材只說聚點，不查還不知道也叫極限點

聚點這定義我越看越眼熟，再加上剛剛看見個回答說 \(\R\) 包含了它所有的極限點

確界原理和開集的關聯似乎清楚了一點

導集

Derived set

The collection \(M'\) of all limit points of a set \(M\) in a topological space.

Addition: A set \(M\) that is contained in its derived set is called dense-in-itself; if in addition \(M\) is closed, it is termed a perfect set.

書上：\(A\) 的所有聚點的集合稱為 \(A\) 的導集，記作 \(A'\)

閉包

稱集合

\[\bar{A} = A\cup A' \]

為 \(A\) 的閉包。

形象地來看，如果 \(A\) 是一個封閉圖形 \(G\) 的內點，那么 \(G\) 的邊上的每個點都是 \(A\) 的聚點，邊所有點的集合就是 \(G\) 的導集，\(G\) 的內點和邊上點的並就是 \(A\) 的閉包。

性質

命題 1.1

\[x\in \bar{A} \iff \forall U(x), U(x) \cap A \ne \emptyset \]

證明：

1. 左往右
   1. 若 \(x\in A\) 顯然非空
   2. 若 \(x\in \bar{A}\)，\(x\) 是 \(A\) 的聚點，由聚點定義，也非空
2. 右往左
   1. \(x\in A\)，顯然左邊成立
   2. \(x\notin A\)，則 \(x\) 是 \(A\) 的聚點，所以 \(x\in A'\)，那么左邊成立

逆否形式：

\[x\in (\bar{A})^c \iff \exist U(x), U(x) \cap A = \emptyset \]

命題 1.2

\(A\) 是拓撲空間 \(X\) 的子集，那么 \((\bar{A})^c = (A^c)^{\circ}\)

拓撲空間的子集並不都是開集，拓撲的元素才是開集，閉集也是拓撲空間的子集

閉集需要用補集才能與鄰域概念聯系起來，所以閉集相關的證明幾乎都要用逆否取補，然后用這條命題轉換為開集與內部的問題

證明：

\[\begin{aligned} &\forall x \in (\bar{A})^c\\ \to &x \notin \bar{A} \\ \to &\exist U(x), U(x) \cap A = \emptyset \\ \to &U(x) \sub A^c \\ \to &x\in (A^c)^{\circ} \end{aligned} \]

反過來

\[\begin{aligned} &\forall x \in (A^c)^{\circ} \\ \to & \exist U(x) \sub A^c \\ \to & \forall a \in U(x), a \notin A &(U(x)\cap A =\emptyset)\\ \to & x \notin \bar{A} \\ \to & x \in (\bar{A})^c \end{aligned} \]

命題 1.3

\(A\sub B\to \bar{A} \sub \bar{B}\)

證明：

\[\begin{aligned} &\forall x \in \bar{A}, \forall U(x), \exist a\in U(x) ,a \in A\\ \to & a\in B \\ \to & x \in \bar{B} \end{aligned} \]

命題 1.4

\(\bar{A}\) 是所有包含 \(A\) 的閉集的交集，所以是包含 \(A\) 的最小的閉集

證明:

這個證明的精髓在於

1. 內點和鄰域的關系
2. 一個開集就是自身的內部

令 \(E=\{S~is~closed~|~A\sub S\}\)

即證

\[\bigcap_{S\in E} S = \bar{A} = A \cup A' \]

1. 左邊 \(\sub\) 右邊

即證

\[\begin{aligned} &\bigcap_{S\in E} S \sub \bar{A} = A \cup A'\\ \iff &(\bar{A})^c \sub \bigcup_{S\in E}S^c \end{aligned} \]

\(\forall x\in (\bar{A})^c\)，由命題 1.2 可知，\(x\) 是 \(A^c\) 的內點。

言外之意，\(\exist U(x), U(x) \sub A^c,A\sub (U(x))^c\)

不失一般性，這里可取 \(U(x)\) 為開集，故而 \((U(x))^c\) 為閉集，所以 \((U(x))^c\in E\)

所以

\[x\in U(x) = ((U(x))^c)^c \sub \bigcup_{S\in E}S^c \]

1. 右邊 \(\sub\) 左邊

\(\bar{A} = A \cup A'\)，所以首先

\[\begin{aligned} &\forall S \in E, A\sub S \\ \to & A \sub \bigcap_{S\in E} S \end{aligned} \]

下一步證明

\[\begin{aligned} &A'\sub \bigcap_{S\in E} S \\ \iff & \bigcup_{S\in E} S^c \sub (A')^c & (S^c~is~opened) \end{aligned} \]

\(\forall S\in E, A\sub S\to S^c \sub A^c\)

\(\forall x \in S^c\)，\(S^c\) 是開集故而 \(S^c = (S^c)^{\circ}\)，因此 \(\exist U(x)\sub S^c\sub A^c\)

這說明 \(x\notin A'\), 於是得證 😅

命題 1.5

\(\bar{A}=A \iff A\) 是閉集

由命題 1.4 有 \(\bar{A}\) 是閉集，所以左到右顯然成立

接下來證右到左，\(\bar{A} = A \iff (\bar{A})^c = A^c\)，由於 \(A, \bar{A}\) 都是閉集，所以 \(A^c, (\bar{A})^c\) 都是開集，由命題 1.2 知 \((\bar{A})^c = (A^c)^{\circ}\) \(=A^c\)，因此得證

命題 1.6

\(\overline{A\cup B} = \bar{A}\cup \bar{B}\)

等價於證明 \((\overline{A\cup B})^c = (\bar{A})^c \cap (\bar{B})^c\),
分別記 \(C = A^c, D = B^c\)，那么等價於證明

\[(C\cap D)^{\circ} = \mathring{C} \cap \mathring{D} \]

這個證過了

命題 1.7

\(\overline{A\cap B}\sub \bar{A}\cap\bar{B}\)

等價於證明 \((\bar{A})^c \cup (\bar{B})^c \sub (\overline{A\cap B})^c\),
分別記 \(C = A^c, D = B^c\)，那么等價於證明

\[\mathring{C} \cup \mathring{D} \sub (C\cup D)^{\circ} \]

這個證過了。