基础拓扑学讲义 1.4 (聚点和闭包)

聚点和闭包

1. 聚点
2. 导集
3. 闭包
4. 性质
   1. 命题 1.1
   2. 命题 1.2
   3. 命题 1.3
   4. 命题 1.4
   5. 命题 1.5
   6. 命题 1.6
   7. 命题 1.7

聚点

A limit point (or cluster point or accumulation point)

wiki:

聚点: Let \(S\) be a subset of a topological space \(X\). A point \(x\) in \(X\) is a limit point or cluster point or accumulation point of a set of \(S\) if every neighbourhood of \(x\) contains at least one point of \(S\) different from \(x\) itself.

书上：\(A\) 是拓扑空间 \(X\) 的子集，\(x\in X\)。如果 \(x\) 的每个邻域都含有 \(A-\{x\}\) 中的点，则称 \(x\) 为 \(A\) 的聚点

中文这教材只说聚点，不查还不知道也叫极限点

聚点这定义我越看越眼熟，再加上刚刚看见个回答说 \(\R\) 包含了它所有的极限点

确界原理和开集的关联似乎清楚了一点

导集

Derived set

The collection \(M'\) of all limit points of a set \(M\) in a topological space.

Addition: A set \(M\) that is contained in its derived set is called dense-in-itself; if in addition \(M\) is closed, it is termed a perfect set.

书上：\(A\) 的所有聚点的集合称为 \(A\) 的导集，记作 \(A'\)

闭包

称集合

\[\bar{A} = A\cup A' \]

为 \(A\) 的闭包。

形象地来看，如果 \(A\) 是一个封闭图形 \(G\) 的内点，那么 \(G\) 的边上的每个点都是 \(A\) 的聚点，边所有点的集合就是 \(G\) 的导集，\(G\) 的内点和边上点的并就是 \(A\) 的闭包。

性质

命题 1.1

\[x\in \bar{A} \iff \forall U(x), U(x) \cap A \ne \emptyset \]

证明：

1. 左往右
   1. 若 \(x\in A\) 显然非空
   2. 若 \(x\in \bar{A}\)，\(x\) 是 \(A\) 的聚点，由聚点定义，也非空
2. 右往左
   1. \(x\in A\)，显然左边成立
   2. \(x\notin A\)，则 \(x\) 是 \(A\) 的聚点，所以 \(x\in A'\)，那么左边成立

逆否形式：

\[x\in (\bar{A})^c \iff \exist U(x), U(x) \cap A = \emptyset \]

命题 1.2

\(A\) 是拓扑空间 \(X\) 的子集，那么 \((\bar{A})^c = (A^c)^{\circ}\)

拓扑空间的子集并不都是开集，拓扑的元素才是开集，闭集也是拓扑空间的子集

闭集需要用补集才能与邻域概念联系起来，所以闭集相关的证明几乎都要用逆否取补，然后用这条命题转换为开集与内部的问题

证明：

\[\begin{aligned} &\forall x \in (\bar{A})^c\\ \to &x \notin \bar{A} \\ \to &\exist U(x), U(x) \cap A = \emptyset \\ \to &U(x) \sub A^c \\ \to &x\in (A^c)^{\circ} \end{aligned} \]

反过来

\[\begin{aligned} &\forall x \in (A^c)^{\circ} \\ \to & \exist U(x) \sub A^c \\ \to & \forall a \in U(x), a \notin A &(U(x)\cap A =\emptyset)\\ \to & x \notin \bar{A} \\ \to & x \in (\bar{A})^c \end{aligned} \]

命题 1.3

\(A\sub B\to \bar{A} \sub \bar{B}\)

证明：

\[\begin{aligned} &\forall x \in \bar{A}, \forall U(x), \exist a\in U(x) ,a \in A\\ \to & a\in B \\ \to & x \in \bar{B} \end{aligned} \]

命题 1.4

\(\bar{A}\) 是所有包含 \(A\) 的闭集的交集，所以是包含 \(A\) 的最小的闭集

证明:

这个证明的精髓在于

1. 内点和邻域的关系
2. 一个开集就是自身的内部

令 \(E=\{S~is~closed~|~A\sub S\}\)

即证

\[\bigcap_{S\in E} S = \bar{A} = A \cup A' \]

1. 左边 \(\sub\) 右边

即证

\[\begin{aligned} &\bigcap_{S\in E} S \sub \bar{A} = A \cup A'\\ \iff &(\bar{A})^c \sub \bigcup_{S\in E}S^c \end{aligned} \]

\(\forall x\in (\bar{A})^c\)，由命题 1.2 可知，\(x\) 是 \(A^c\) 的内点。

言外之意，\(\exist U(x), U(x) \sub A^c,A\sub (U(x))^c\)

不失一般性，这里可取 \(U(x)\) 为开集，故而 \((U(x))^c\) 为闭集，所以 \((U(x))^c\in E\)

所以

\[x\in U(x) = ((U(x))^c)^c \sub \bigcup_{S\in E}S^c \]

1. 右边 \(\sub\) 左边

\(\bar{A} = A \cup A'\)，所以首先

\[\begin{aligned} &\forall S \in E, A\sub S \\ \to & A \sub \bigcap_{S\in E} S \end{aligned} \]

下一步证明

\[\begin{aligned} &A'\sub \bigcap_{S\in E} S \\ \iff & \bigcup_{S\in E} S^c \sub (A')^c & (S^c~is~opened) \end{aligned} \]

\(\forall S\in E, A\sub S\to S^c \sub A^c\)

\(\forall x \in S^c\)，\(S^c\) 是开集故而 \(S^c = (S^c)^{\circ}\)，因此 \(\exist U(x)\sub S^c\sub A^c\)

这说明 \(x\notin A'\), 于是得证 😅

命题 1.5

\(\bar{A}=A \iff A\) 是闭集

由命题 1.4 有 \(\bar{A}\) 是闭集，所以左到右显然成立

接下来证右到左，\(\bar{A} = A \iff (\bar{A})^c = A^c\)，由于 \(A, \bar{A}\) 都是闭集，所以 \(A^c, (\bar{A})^c\) 都是开集，由命题 1.2 知 \((\bar{A})^c = (A^c)^{\circ}\) \(=A^c\)，因此得证

命题 1.6

\(\overline{A\cup B} = \bar{A}\cup \bar{B}\)

等价于证明 \((\overline{A\cup B})^c = (\bar{A})^c \cap (\bar{B})^c\),
分别记 \(C = A^c, D = B^c\)，那么等价于证明

\[(C\cap D)^{\circ} = \mathring{C} \cap \mathring{D} \]

这个证过了

命题 1.7

\(\overline{A\cap B}\sub \bar{A}\cap\bar{B}\)

等价于证明 \((\bar{A})^c \cup (\bar{B})^c \sub (\overline{A\cap B})^c\),
分别记 \(C = A^c, D = B^c\)，那么等价于证明

\[\mathring{C} \cup \mathring{D} \sub (C\cup D)^{\circ} \]

这个证过了。