分离公理和一些例子
分离公理
- \(T1\) :
任意两点 \(x\) 和 \(y\)，总有 \(x\) 的（开）邻域 \(A\) 使得 \(y \notin A\) - \(T2\) :
任意两点 \(x\) 和 \(y\)，总有不相交（开）邻域 - \(T3\) :
任意一点 \(x\) 和闭集 \(A\) 总有不相交开邻域 - \(T4\) :
任意两闭集 \(A, B\) 总有不相交开邻域
刻画
\(T1\)
等价于任意单点集是闭集 \(\iff\) 有限集是闭集
\(T2\) ( Hausdorff space )
命题 Hausdorff 空间一个序列不会收敛到两个以上的点
\(T3\)
任意点 \(x\) 和他的开邻域 \(W\)，存在 \(x\) 的开邻域 \(U\) 使得 \(\overline{U} \subset W\)
\(T4\)
任意闭集 \(A\) 和他的开邻域 \(W\)，存在 \(A\) 的开邻域 \(U\) 使得 \(\overline{U} \subset W\)
举例
\(T1\) 空间有推论 \(A\) 的聚点的邻域与 \(A\) 的交为无穷集，这似乎暗示了有限集的拓扑空间必不满足 \(T1\)，举例来看一个有聚点的有限拓扑空间：
\(X = \{a, b\}, \tau = \{\emptyset, X, \{a\}\}\)，则 \((X, \tau)\) 构成拓扑空间，\(b\) 是 \(\{a\}\) 的聚点
\(b\) 的邻域只有 \(X\)，\(X\cap\{a\} = \{a\}\) 为有限集
显然不满足 \(T1\)
有限集有聚点的例子很难找...这个例子好像看不出来什么东西