基础拓扑学讲义 1.13 基本群的同伦不变

点集拓扑以集合论为基石，其中的概念用集合来描述...

基本群的同伦不变

• 基本群的同伦不变
  • 基本群同胚不变
  • 基本群的直积
  • 平环和 \(S^1\)
  • 基本群同伦不变
  • 怎么会事呢

基本群同胚不变

\(f:X\to Y\) 是同胚，即 \(f\) 是连续开双射，也可以像同伦型一样，描述为:

• 对连续映射 \(f\)，存在连续映射 \(g:Y\to X\) 使得 \(g\circ f = id_X\) 且 \(f\circ g = id_Y\)

称 \(f\) 是一个同胚映射，或者拓扑变换，或者简称同胚。此时 \(X\) 与 \(Y\) 同胚，记为 \(X\cong Y\)

即证 \(f_\pi: \pi_1(X, x_0)\to \pi_1(Y, f(x_0))\) 是同构，只需 \(f_\pi\) 既单又满，但还可以更快

\(f_\pi \circ f^{-1}_\pi = (f\circ f^{-1})_\pi = (id_X)_\pi\) 显然是同构

因此 \(f_\pi\) 是同构

基本群的直积

\[\pi_1(X\times Y, (x, y)) \cong \pi_1(X, x)\times \pi_1(Y, y) \]

这个命题 Armstrong 的书上好像有个相关例子，用两个 \(E^1\) 上的道路复合出来一个 \(E^2\) 的道路，即 \(x, y\) 轴上的道路复合出来 \(xOy\) 平面上的道路:

\[P_{a, b}:I\to E^2\\P_{a, b}(t) = (a(t), b(t)) \]

其中 \(a, b\) 分别是 \(x, y\) 轴上的道路

设

\[\begin{aligned} \psi: \pi_1(X\times Y, (x, y))&\to \pi_1(X, x)\times \pi_1(Y, y)\\ \psi(\gamma) &= (j_X(\gamma), j_Y(\gamma)) \end{aligned} \]

其中 \(j_X, j_Y\) 是 \(X\times Y\) 到 \(X, Y\) 的投射

投射：\(\forall \gamma \in \pi_1(X\times Y, (x, y)), \gamma\) 可以写为 \(\gamma(t) = (a(t), b(t))\) 的形式
\(\gamma(0) = \gamma(1) = (a(0), b(0)) = (a(1), b(1)) = (x, y)\)
那么定义投射 \(j_X(\gamma) = a, j_Y(\gamma) = b\)

道路直积的乘积好像没形式定义，不过大概不影响（俺寻思就完事了

注意： 为了区分两个写法相同的概念，定义 \(\gamma = [a, b]\)，如果 \(\gamma(t) = (a(t), b(t))\)
按照上面的定义，则有

\[\psi([a, b]) = (a, b) \]

这样就区分开了 \(\pi_1(X\times Y, (x, y))\) 和 \(\pi_1(X, x)\times \pi_1(Y, y)\) 中的元素。前者是道路，后者是道路的直积，不是道路

下面证明一个形式

\[\begin{aligned} [ac, bd](t) &= (ac(t), bd(t))\\ &= \begin{cases} (a(2t), b(2t)) &, 0 \le t\le 1/2\\ (c(2t-1), d(2t-1)) &, 1/2 \le t \le 1 \end{cases} \end{aligned} \]

这与道路的拼接一致:

\[\begin{aligned} [a, b][c, d] &= \begin{cases} [a,b](2t) &, 0 \le t\le 1/2\\ [c,d](2t-1) &, 1/2 \le t \le 1 \end{cases}\\ &= \begin{cases} (a(2t), b(2t)) &, 0 \le t\le 1/2\\ (c(2t-1), d(2t-1)) &, 1/2 \le t \le 1 \end{cases} \end{aligned} \]

因而 \([a, b][c, d] = [ac, bd]\)

• 是同态
  \[\begin{aligned}\psi(\gamma_1\gamma_2)&=\psi([a_1, b_1][a_2, b_2])\\ &=\psi([a_1a_2, b_1b_2])\\ &= (a_1a_2, b_1b_2)\\ &=(a_1, b_1)(a_2, b_2)\\ &=\psi(\gamma_1)\psi(\gamma_2)\end{aligned} \]
  其中 \((a_1a_2, b_1b_2) =(a_1, b_1)(a_2, b_2)\) 是直积自然有的乘积
• 满
  \(\forall (a, b)\in \pi_1(X, x)\times \pi_1(Y, y)\)，构造 \(\gamma(t) = (a(t), b(t))\)
  则有 \(\psi(\gamma) = (a, b)\)
• 单
  \(\gamma_1 = [a_1, b_1], \gamma_2 = [a_2, b_2]\)，\(\gamma_1 \ne \gamma_2 \Longrightarrow (a_1 \ne a_2) \lor (b_1 \ne b_2)\)
  因而 \(\psi(\gamma_1) = (a_1, b_1) \ne (a_2, b_2) = \psi(\gamma_2)\)

上面没有区分道路和道路类，不过实际上也没有区分的必要吧，大概

平环和 \(S^1\)

平环 \(=S^1\times I\)，设平环基本群为 \(X\)，则有

\[X \cong \pi_1(S^1, 1) \times \pi_1(I, 0) \cong \pi_1(S^1, 1) \]

\(\pi_1(I, 0) = \{e_I\}\) 是平凡群，所以后面两者有显然的同构

基本群同伦不变

之前证明过了
对比同胚不变来看，\(p\in X, q = g\circ f(p)\in X\)，道路类 \(\gamma\) 从 \(p\) 到 \(q\)
只是多隔了一层 \(\gamma\) 诱导出来的同构。同构复合同构，还是同构

在同伦的眼光下，你无法区分 \(S^1\) 和平环，这种无差别用代数来描述，是因为他们有相同的基本群

整个第四章都是在建立代数与拓扑之间的关联，在为后面研究拓扑打造代数的工具，可惜这课只上到覆叠空间。

怎么会事呢

假如你没有耳朵，\(A\) 和 \(B\) 除了声音之外一模一样，你就无法区分 \(A,B\)

假如你没有眼睛，乌鸦和人放在一起，你也叫不出谁在说话

\(\simeq\) 和 \(\cong\) 和 \(=\)，在一众以集合为基石的概念中，\(=\) 大概代表集合完全相等，而 \(\cong\) 代表你无法用手中的工具来区分，\(\simeq\) 是一种保持一些性质的等价

• 集合中没有 \(\cong\)，因为你用集合来区分集合，\(=\) 与 \(\cong\) 是相同的概念
• 拓扑中不同的拓扑空间可以同胚，他们是不同的集合，却无法区分
• 在抽象代数（abstractalgebra)中，同构(isomorphism)指的是一个保持结构的双射(bijection)
  • 群同构：\(G\cong G'\)，如果存在同态 \(\psi:G\to G'\) 是双射
• 在更一般的范畴论语言中，同构指的是一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射
  范畴是比集合更广泛的概念，恒等态射应该有怎样的性质？