基础拓扑学讲义习题 1.0 基本群的定义

误入歧途，学到这里大概就该抛开一切直观，转而用代数方法了

习题 p115

• 习题 p115
  • T₄
  • T₅
  • T₆
  • T₇ （题目描述有误）
  • T₈

T₄

• 设 \(f:X\to Y\) 连续，\(x_i\in X, y_i=f(x_i), i=0,1\)。记 \(\omega\) 是从 \(x_0\) 到 \(x_1\) 的道路类。证明下面的同态图表可交换：

即证 \(f_\pi \circ \omega_\# = (f\circ \omega)_\#\circ f_\pi\)

\(\forall a \in \pi_1(X, x_0)\)

• \(f_\pi \circ \omega_\#(a) = f\circ (\omega^{-1}a\omega)\)
• \((f\circ \omega)_\#\circ f_\pi(a) = (f\circ \omega)^{-1}(f\circ a)(f\circ \omega)\)

展开即可发现等价

T₅

• 设 \(A\) 是 \(X\) 的收缩核，\(i:A\to X\) 是包含映射，\(r: X\to A\) 是收缩映射。
  证明： \(\forall x_0 \in A\)
  • \(i_\pi:\pi_1(A, x_0)\to \pi_1(X, x_0)\) 是单同态
  • \(r_\pi: \pi_1(X, x_0)\to \pi_1(A, x_0)\) 是满同态

• 拓扑空间 \(Y\) 的子集 \(B\) 称为 \(Y\) 的一个收缩核，如果存在连续映射 \(r:Y\to B\)，使得 \(\forall x\in B, r(x) = x\)；称 \(r\) 是 \(Y\) 到 \(B\) 的一个收缩映射
• 设 \(A\) 是 \(X\) 的子空间，\(i:A\to X\) 是包含映射。如果存在收缩映射 \(r:X\to A\)（即 \(r\circ i=id_A:A\to A\)），使得 \(i\circ r\simeq id_X:X\to X\)，就称 \(A\) 是 \(X\) 的一个形变收缩核

证明：

从包含映射和收缩映射的定义有 \(r\circ i = id_A: A\to A\)

所以从基本群同态的复合 \(r_\pi\circ i_\pi= (r\circ i)_\pi = (id_A)_\pi\) 是同构，因而 \(i_\pi\) 是单同态，\(r_\pi\) 是满同态

T₆

• 设 \(X\) 单连通，\(a,b\) 是 \(X\) 中有相同起，终点的道路，证明 \(a\underset{\dot{}}{\simeq}b\)

证明： 设 \(a, b\) 起，终点为 \(x_0, x_1\)，\(X\) 单连通故 \(\pi_1(X, x_0) = \{e\}\)

因而 \(\langle a\rangle \langle b\rangle ^{-1} = \langle ab^{-1}\rangle \in \pi_1(X, x_0)\)

所以 \(\langle ab^{-1}\rangle = e\)

所以 \(\langle ab^{-1}\rangle \langle b\rangle = e\langle b\rangle\)

即 \(\langle a\rangle = \langle b\rangle\)，得证

T₇ （题目描述有误）

• 设 \(\omega, \omega'\) 是 \(x_0\) 到 \(x_1\) 的两个道路类。证明：

\[\omega_\# = \omega_\#': \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(X, x_1)\\ \Updownarrow\\ \forall \alpha \in \pi_1(X, x_0), \omega\omega'^{-1}\alpha = \alpha\omega\omega'^{-1} \]

要注意 \(\omega, \omega'\) 是道路类，不是道路，\(\omega_\#, \omega_\#'\) 是由他们引出的基本群同态，\(\forall \alpha \in \pi_1(X, x_0)\) 也是基本群中的闭路类，不是闭路

证明：

\[\forall \alpha \in \pi_1(X, x_0)\\ \begin{aligned} \omega_\#=\omega_\#' &\Longleftrightarrow \omega^{-1}\alpha \omega = \omega'^{-1}\alpha \omega'\\ &\Longleftrightarrow \omega\omega^{-1}\alpha \omega = \omega\omega'^{-1}\alpha \omega'\\ &\Longleftrightarrow \omega\omega^{-1}\alpha \omega\omega'^{-1} = \omega\omega'^{-1}\alpha \omega'\omega'^{-1}\\ &\Longleftrightarrow e\alpha \omega\omega'^{-1} = \omega\omega'^{-1}\alpha e'\\ \end{aligned} \]

T₈

• 证明 若 \(x_0, x_1\) 在 \(X\) 的同一道路分支中，则
  从 \(x_0\) 到 \(x_1\) 的任一道路类决定相同的同构 \(\Longleftrightarrow\pi_1(X, x_0)\) 是交换群

证明：由 T7 结果，要证

\[\forall \omega, \omega'， \alpha \omega\omega'^{-1} = \omega\omega'^{-1}\alpha \Longleftrightarrow \forall a, b\in \pi_1(X, x_0), ab = ba \]

其中 \(\omega, \omega'\) 是 \(x_0\) 到 \(x_1\) 的两个道路类

• \(\Longleftarrow\) 取 \(a = \alpha, b = \omega\omega'^{-1}\)，则显然成立

• \(\Longrightarrow\) 设 \(\omega\) 是 \(x_0\) 到 \(x_1\) 道路类，则 \(b\omega\) 也是 \(x_0\) 到 \(x_1\) 道路类，\(\omega(b\omega)^{-1} = b\) 也在 \(\pi_1(X, x_0)\) 的中心，因而 \(ab=ba\)

此题演示了 \(x_0, x_1\) 之间道路类与 \(\pi_1(X, x_0)\) 的关系