拓扑子空间开集族传递性和包含映射与交换图
\(X\) 是拓扑空间，\(A\subset X\)，则 \(A\) 上开集族
\(B\subset A\)，则 \(B\) 上开集族
子空间的开集显然不一定是原空间的开集，但好像所有子空间拓扑都能有一样的形式，为啥这么定义啊
度量空间的子空间的子空间的子空间的...集合，也能从开球的角度来判断是不是开集，难道是为了这个吗？
包含映射为连续映射
\(i: A\to X\) 为包含映射，\(A\subset X\)
\(\forall U\in \tau_X\)，有 \(i^{-1}(U) = U\cap A\) 为 \(A\) 中开集
包含映射不一定为开映射
\(i: A\to X\) 为包含映射，\(A\subset X\)
\(A\) 为 \(A\) 中开集，于是 \(i(A) = A\) 显然可以是 \(X\) 中闭集
连续映射在子空间的限制
- \(f:X\to Y\)，\(A\subset X\)，那么是否有：
是
包含映射 \(i_A: A\to X\)，那么 \(f_A = f\circ i_A\)
由 包含映射为连续映射，可知 \(f|_A\) 连续
逆命题是否成立？
否：分段函数可以在每一段上连续，但在整体上不连续
\(g,f\) 一个连续另一个不连续，\(g\circ f\) 是否一定不连续？
是
\((g\circ f)^{-1}(U) = f^{-1}\circ g^{-1}\)
连续映射在子空间的限制 2
- 设 \(B\) 是 \(Y\) 的子集，\(i: B\to Y\) 是包含映射，\(f:X\to B\) 是映射，证明：
证明：
- \(\Longrightarrow\)
包含映射连续，显然
- \(\Longleftarrow\)
\(\forall U \in B\)，\(i(U) = U\)，要证若 \(U\) 为 \(B\) 中开集，则 \(f^{-1}(U)\) 为 \(X\) 中开集
根据子空间拓扑定义，存在 \(Y\) 中开集 \(U'\) 使得 \(U'\cap B = U\)
- 答案：\(U = i^{-1}(U'), f^{-1}(U) = f^{-1}(i^{-1}(U')) = (i\circ f)^{-1}(U')\) 为开集
- \(i\) 是单射，不是满射，\(\forall U \in B, i(U) = U, i^{-1}(U) = U\)
只有 \(i\) 是双射才有 \(i^{-1}\) 是逆映射，这里的 \(i^{-1}(U)\) 仅表示 \(B\) 的原像，不是逆映射
事实上，很多开集 \(U'\) 都满足 \(i^{-1}(U') = U\)，而满足 \(i^{-1}(U') = U\) 的 \(U'\) 却不一定是开集，例如有闭集 \(C\subset Y, C \cap B = \emptyset\)，有 \(i^{-1}(C \cup U) = U\)，这样 \(C\cup U\) 可以不是开集
画成交换图如下
连续在子空间的限制 3
- \(f:X\to Y\) 是连续映射，那么 \(h: A\to f(A), x\mapsto f(x)\) 连续吗？
\(f\circ i|_A = f|_A = h \circ i_{f(A)}\)，
由上面结果 连续映射在子空间的限制 2 有 \(h\) 连续
上面的交换图取一半稍微变形一下得到上题结论：
同胚在子空间的限制
- \(f:X\to Y\) 是同胚，那么 \(h: A\to f(A), x\mapsto f(x)\) 是同胚吗？
首先 \(h\) 显然是双射
从形式的对称性来看，只需要证明 \(h\) 是连续映射，\(h^{-1}\) 同理也就是连续映射
\(f|_A\) 连续，而 \(i|_{f(A)}\circ h = f|_A = f\circ i_A\) 连续
故而 \(h\) 连续
交换图这么牛？
或者用上面结论 连续在子空间的限制 3，直接得到 \(h\) 和 \(h^{-1}\) 连续，故而得证
这一结论可表述为 \(f:X\to Y\) 为同胚，则 \(f|_A: A\to Y\) 为嵌入映射
嵌入映射: 对于单连续映射 \(f:X\to Y\)，有 \(f: X\to f(X)\) 为同胚。例如 \(i\) 为嵌入映射