參考：
文獻3：拓撲空間——高國士
一、寫在前面
現代數學是我目前覺得最美的數學。數學三大分支：代數，幾何，分析學。最終毫無例外地用集合論解釋了，真是神奇，讓人拍案叫絕。以前總是思考，所有的數學到底歸根於什么？當時學代數，學函數，覺得所有數學就是集合、映射。沒想到真有有點不謀而合的感覺。但是沒想過分析學用集合論也能解釋得毫無破綻。至於幾何學，當然學解釋幾何時，能感覺到有點解方程，用代數解決的感覺。但也沒想過用齊次坐標表達，最終任意的幾何形式，也能用簡潔的式子描述。簡言之，集合論讓人驚嘆不已。
如果沒有問數學最底層的理論基礎，那么，很多東西變得可笑，如圖，你可能證明命題，證來證去都是一個，而自己都不知道，甚至也不知道哪個定理先有，哪個后有的，而把后有的定理證明先有的定理。數學家們致力於把把所有的數學定理建成一套完備的定理，並最終依賴簡單的幾條公理。看過公理的，你就會發笑，這么簡單的東西，還有人去證啊？是的，從最簡單的公理出發，樹狀地推導所有的定理，最終建立一套完備的定理系統。
二、簡單回顧一下現代數學第一、二章：
1、集合交、並；基、勢，映射、可列集、連續集；等價關系、序關系；實數的完備性定理（有限開覆蓋定理，公理或許更合適一些，這里用幾百個等價命題），其中一個就是極限的定義。
2、二元運算；群、環、模、線性空間；線性算子、線性泛函、張量空間
三、拓撲空間
至此，假設上述知識已經掌握。現在寫一下，自己對第三章的拓撲空間的理解。是學習的過程，很可能有許多錯誤的理解，但是研究不怕出錯。
高國士先生的書有400頁來解釋拓撲空間。我只能略略地嘆息。
1、講拓撲空間，先說用什么用！（工科的心態啊！）。拓撲空間用來自然地從集合概念引入極限的概念，進而為分析學打下基礎。另外，拓撲空間可以在等價關系中推導、而不必在序關系中提出極限概念？（待思考）。實際很多概念是忽略這兩種關系提出的。
2、先蠻不講理地提出一些概念：拓撲空間、拓撲基、開集、閉集、鄰域、鄰域基、Hausdorff space、內點、外點、邊界點、孤立點、極限點（累積點）、稠密、有界集、全有界集、列緊集、緊集、收斂、連續映射、同胚映射、連通、度量空間、度量空間的連通性（部分概念只是描述過程中的產物，避免重復寫一堆文字才創造出的概念，並無需對它有深刻的理解。這些概念如同代碼中的函數，就是避免重復寫那段重復代碼才創造函數）
3、拓撲空間定義：給定一個集合X，這個集合有許多子集，我們把部分或全部子集收集起來，並要求它們滿足一些約束條件，由此組成的空間稱為拓撲空間（X，ζ）.滿足的約束條件是：任意子集的叫仍在是收集中的某個子集；任意多個子集的並仍是收集中的某個子集。收集中一定有空集和X。
4、拓撲基：在收集的子集中，找到至少數量的子集，通過這些子集本身及一些數量子集之間的並可以創造出收集中的任何一個子集
5、開集、閉集：收集中的任何一個子集都是開集。以X為全集，開集的補集叫做閉集。那么，這里的開集、閉集和以前的開區間、閉區間有沒有關系呢？我們也類比一些，假如，開區間類比開集，閉區間類比閉集，什么類比集合X？令某個區間是X，拓撲空間可能無數個X的子區間的組成的族，閉區間就是X-這個開區間。我們引用文獻2中的一個解釋：
Closed set（閉集合）。在現代的拓撲學的公理化體系中，開集和閉集是最基本的概念。一切從此引申。這兩個概念是開區間和閉區間的推廣，它們的根本地位，並不是一 開始就被認識到的。經過相當長的時間，人們才認識到：開集的概念是連續性的基礎，而閉集對極限運算封閉——而極限正是分析的根基。
很明顯，這不能說明離散拓撲的意義？在我看來，閉區間和開區間是特殊的閉集和開集。我們看下圖。線段代表X（無論開集或閉集），中間中括號代表開集，兩側代表閉集。我們發現兩側也屬於X，也算開集。這提示我們，這里舉的例子很特殊，及開區間、閉區間也是特殊的開集、閉集。我們下面可以看出這點。
6、還是先提一下：平凡拓撲（最粗）、離散拓撲（最細）：所有子集構成、通常拓撲：數直線上的開集族連通空間及R形成R上的通常拓撲。摘：在離散拓撲空間中，任何子集都是閉集，也同時是閉集，任何子集的閉包就是自己。平凡空間非空子集的閉包都是X。P22
7、設X的子集U包含着某個開集，該開集包含着x，稱U為x的鄰域；如果U是開集，則稱U是x的開鄰域。
8、Hausdorff space空間。（T2空間）
因為一般的拓撲空間研究比較單一、抽象，我們會逐漸給出一些約束條件。
首先：T0空間。
其次：T1空間。
接着：T2空間。
再者，T3：
最后，T4：
