前言：《拓撲學》第二版看到第三章緊致空間，提到了有限補拓撲的緊致性，起了疑惑，如果單點集都是閉集，是否是Hausdorff空間，書上只證明了必要條件，由此可想，其逆大概不成立，於是乎自己證明了，基於此，記錄下來
問題\(1\): 拓撲空間\(X\)中，每個單點集都是閉集，則\(X\)不一定是\(Hausdorff\)空間，且對於每個單點存在一個有限鄰域，則其為\(Hausdorff\)空間
證：
通過舉反例證明前半部分，而\(R\)上的有限補拓撲即是一個，因為其滿足每個單點集為閉集，但任意二個點\(x\)和\(y\)的鄰域必相交於無窮遠處，不然就是有限鄰域，則不符合有限補的定義
而對於第二部分，若對於單\(x\)的一個有限鄰域\(U\)，其必為閉集(閉集的有限並為閉集)，假設\(X\)不為Hausdorff空間，則\(U\)的閉包必包含一個不在其中的點，這與\(U\)為閉集矛盾
深入想象為什么會出現這種情況，本質是什么，對於任一\(x \in U\)鄰域，鄰域\(U\)是無限閉集的並為什么不一定是閉集，於是乎就回歸到了拓撲的定義上：
開集的有限交是開集，閉集的有限並是閉集
上述的逆命題不一定成立，考慮\(R\)標准拓撲
\(\bigcap U_{n} = (-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = {0}\)為閉集
\(\bigcup U_{n} = (-\infty, -\frac{1}{n}] \cup [\frac{1}{n}, +\infty) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\)為開集
因此有時往往疏忽了問題的本質，例如為什么\(f^{-1}\)有良好的交與差性質，而\(f\)卻沒有，本質是在函數的定義上：值域里不同的兩點不能由定義域里的同一點映射得到