在本系列中，我的個人見解將使用斜體標注。每篇文章的最后，我將選擇摘錄一些例題。由於文章是我獨自整理的，缺乏審閱，難免出現錯誤，如有發現歡迎在評論區中指正。
Part 1：子空間
子空間(subspace) 如果\(V\)的子集\(U\)（采用與\(V\)相同的加法和標量乘法）也是向量空間，則稱\(U\)是\(V\)的子空間。
如果\(V\)的子集\(U\)是\(V\)的子空間，則等價於\(U\)滿足以下三個條件：
- 加法單位元(additive identity)：\(0\in U\)。
- 加法封閉性(closed under addition)：如果\(u,w\in U\)，則\(u+w\in W\)。
- 標量乘法封閉性(closed under scalar multiplication)：如果\(a\in\mathbb{F}\)和\(u\in U\)，則\(au\in U\)。
我原來一直不能理解這個充要性的證明，感覺這一切都很顯然。但事實上，只要證明\(U\)也是向量空間即可，再加上子空間與原空間使用同樣的運算，所以只需要運算在\(U\)上有意義，就自然具備原空間上的運算性質；再驗證加法逆元的存在性即可。
若\(U\)是\(V\)的子空間，則由向量空間的定義，\(U\)滿足這三個條件，必要性得證。
如果\(U\)滿足上述三個條件，則這三個條件分別保證了\(U\)有加法單位元，加法在\(U\)上有意義，標量乘法也在\(U\)上有意義，因而只需要證明加法逆元存在。
若\(u\in U\)，則\((-1)u=-u\in U\)，又\(u+(-1)u=0u=0\)，所以\(U\)的每一個元素在\(U\)中都有加法逆元。
有了這三個性質，判斷一個空間是否是子空間就容易多了，尤其是\(0\in U\)的性質能快速確定很多參數的值。
子集的和(sum of subsets) 設\(U_1,\cdots,U_m\)都是\(V\)的子集，則\(U_1,\cdots,U_m\)的和定義為
證明某個集合是另外兩個子集的和，也就是證明兩個集合相等，需要證明它們相互包含。
設\(U=\{(x,0,0)\in\mathbb{F}^3:x\in\mathbb{F}\}\)，\(W=\{(0,y,0)\in\mathbb{F}^3:y\in\mathbb{F} \}\)，驗證\(U+W=\{(x,y,0):x,y\in\mathbb{F}\}\)。
\(\forall x\in\mathbb{F}\)，能夠唯一確定\(u=(x,0,0)\in U\)；\(\forall y\in\mathbb{F}\)，能夠唯一確定\(w=(0,y,0)\in W\)。所以
\[x+y=(x,y,0)\in\{(x,y,0):x,y\in\mathbb{F}\},\\ U+W\subset \{(x,y,0):x,y\in\mathbb{F}\}. \]另一方面，對任何\((x,y,0)\in\{(x,y,0):x,y\in\mathbb{F}\}\)，有
\[(x,y,0)=(x,0,0)+(0,y,0),\\ (x,0,0)\in U,\quad (0,y,0)\in W,\\ \{(x,y,0):x,y\in\mathbb{F}\}\subset U+W. \]所以\(U+W=\{(x,y,0):x,y\in\mathbb{F}\}\)。
關於子空間的和，有如下的結論：設\(U_1,\cdots,U_m\)都是\(V\)的子空間，則\(U_1+\cdots+U_m\)是\(V\)的包含\(U_1,\cdots,U_m\)的最小子空間。這個結論包含三個層次，一是子空間的和仍然是子空間，二是\(U_1,\cdots,U_m\)都是\(U_1+\cdots+U_m\)的子集，三是任何包含以上所有子空間的子空間\(W\)，都有\(U_1+\cdots+U_m\subset W\)。要證明這個結論，需要將這三個層次都證明一遍，但都是簡單的。
直和(direct sum) 設\(U_1,\cdots,U_m\)，如果\(U_1+\cdots+U_m\)中的每一個元素都可以唯一地表示為\(u_1+u_2+\cdots+u_m\)，其中每一個\(u_j\in U_j\)，就稱\(U_1+\cdots+U_m\)，此時也記作
直和設定了和空間的表示方式唯一，這表示每一個子空間的地位都是重要的，不能被其他子空間所取代、替換。具體在驗證直和時，可以寫出線性表示的方程組，如果解是唯一的則是直和，如果有不止一組解（則必是無窮組），就不是直和。
直和的條件 設\(U_1,\cdots,U_m\)都是\(V\)的子空間，則\(U_1,\cdots,U_m\)是直和的充要條件是：\(0\)被表示成\(u_1+\cdots+u_m\)（\(u_j\in U_j\)）的唯一方式是\(u_j=0,\forall j\)。
必要性由直和的定義直接得出。
下證充分性。設\(v=v_1+\cdots+v_m\in U_1+\cdots+U_m\)，為證明這個表達是唯一的，假設還有一個表達為
\[v=u_1+\cdots+u_m,\\ v=v_1+\cdots+v_m, \]作差得到
\[0=(u_1-v_1)+\cdots+(u_m-v_m). \]由於\((u_j-v_j)\in U_j\)，所以\(u_j-v_j=0\)，即\(u_j=v_j\)，這就證明了表達的唯一性，即充分性。
兩個子空間是直和的條件 設\(U,W\)都是\(V\)的子空間，則\(U+W\)是直和當且僅當\(U\cap W=\{0\}\)。
先證必要性。如果\(U+W\)是直和且\(v\in U\cap W\)，則
\[0\in v+(-v), \]由直和的條件，\(v=0,(-v)=0\)。
再證充分性。由於\(U\cap W=\{0\}\)，所以\(0=u+(-u)\)，如果\(u\in U\)，則\((-u)\in W\)，也即\(u\in W\)，進而\(u\in U\cap W\)，得到\(u=0\)，所以\(0\)的表示唯一，即\(U+W\)是直和。
Part 2：有限維向量空間
線性組合(linear combination) 如果\(a_1,\cdots,a_m\in\mathbb{F}\)，\(V\)中一組向量\(v_1,\cdots,v_m\)的線性組合是具有以下形式的向量：
線性組合是張成空間的基礎，有了線性組合這個道具，就能很方便地表示兩個子空間的和。在前面定義兩個子空間的和時，實際上使用的也是兩個子空間中向量的線性組合。
張成空間(span) \(V\)中一組向量\(v_1,\cdots,v_m\)的所有線性組合所構成的集合稱為\(v_1,\cdots,v_m\)的張成空間，記作
特別地，將空向量組的張成空間定義為\(\{0\}\)，這是為了確保張成空間一定是向量空間。
張成空間提供了另一種找到子空間的思路，它是基於部分向量的，從而我們不需要直接考慮到子空間的所有向量是否滿足兩個封閉性。從定義可以看出，張成空間一定是一個子空間。
不僅如此，張成空間\(\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)\)還是包含這個向量組的最小子空間。與上面證明子空間的和是包含子空間的最小子空間類似，分三個層次證明：一是張成空間確實包含這個向量組，二是張成空間是一個子空間，三才是“最小”性，即包含這個向量組的子空間全都包含\(\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)\)。
有限維向量空間(finite-dimensional vector space) 如果一個向量空間可以被該空間中的某個向量組張成，則稱這個向量空間是有限維的。
我們會常接觸到的有限維向量空間：
- \(\mathbb{F}^n\)，是一個\(n\)維向量空間。
- \(\mathcal P_m(\mathbb{F})\)：系數在\(\mathbb{F}\)中且次數不超過\(m\)的所有多項式構成的集合，是一個\(m+1\)維向量空間。
無限維向量空間(infinite-dimensional vector space) 不是有限維向量空間的向量空間，就是無限維的。舉例：
- \(\mathbb{F}^{\infty}\)或\(\mathbb{F}^{S}\)。
- \(\mathcal P(\mathbb{F})\)：系數在\(\mathbb{F}\)中，但不限定次數的多項式構成的集合。
Part 3：線性無關與線性相關
線性無關(linearly independent) 如果\(V\)中的一組向量\(v_1,\cdots,v_m\)滿足以下條件，就稱為線性無關。
特別規定空組\((\cdot )\)是線性無關的，這樣對空組進行擴張時，得到的結論依然是普遍的。
線性相關(linearly dependent) 如果向量組\((v_1,\cdots,v_m)\)不是線性無關的，就稱為線性相關，等價於\(0\)的表達方式不唯一，存在不全為零的\(a_1,\cdots,a_m\in\mathbb{F}\)，使得
關於線性無關，有一個重要的結論：如果\(\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)\)中的每一個向量\(v\)都只能用唯一的線性表示方式表達，則\((v_1,\cdots,v_m)\)線性無關，反之也成立。這個結論為后續坐標概念的引入提供了准備。
正向證明：\(V\)中每一個向量的表達方式都唯一，則\(0\)的表達方式也是唯一的，又因為
\[0=0v_1+\cdots+0v_m, \]所以只能有\(a_1=\cdots=a_m=0\)，即\((v_1,\cdots,v_m)\)線性無關。
反向證明：如果線性無關，則\(\forall v\in V\)，設
\[v=a_1v_1+\cdots+a_mv_m,\\ v=b_1v_1+\cdots+b_mv_m, \]兩邊作差得
\[0=(a_1-b_1)v_1+\cdots+(a_m-b_m)v_m, \]由線性相關性，\(a_j=b_j,\forall j\)，就說明了\(v\)的表達方式唯一。
線性相關性引理 設\((v_1,\cdots,v_m)\)是\(V\)中一個線性相關的向量組，則存在\(j\in\{1,2,\cdots,n\}\)，使得
- \(v_j\in\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)\)。
- 如果從\(v_1,\cdots,v_m\)中去掉\(v_j\)，則剩余組的張成空間等於\(\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)\)。
這個定理的證明很簡單，在此不寫，但是這個定理的意義很重要，給定一個線性相關組，總能通過一定的刪除使之變成一個線性無關組。我們以后很多討論，都將是基於線性無關組的，所以線性相關組的歸約過程是必要的。
線性無關組的長度與張成組的長度 在有限維向量空間中，線性無關組的長度必定不超過向量空間的每一個張成組的長度（張成組即張成整個向量空間的向量組）。
這是一個顯然的結論，但它也非常重要，可以通過歸約過程證明，只要每次加入一個\(u_j\)並從\(w_1,\cdots,w_n\)中刪掉一個。
這個結論的重要性在於說明了有限維向量空間的張成組長度必定有下界，從而我們可以討論它的最小長度。在此之前，還需要說明張成組的最小長度是確定的（不可能存在兩個不等長的線性無關組，張成同一個向量空間），這是結論的直接推論，因而我們可以直接討論線性空間的張成組最小長度，這將會是后續的一個重要概念。
有限維向量空間的子空間 有限維向量空間的子空間都是有限維的。
設\(V\)是有限維向量空間，\(U\)是\(V\)的子空間，下證明\(U\)是有限維的。只考慮非平凡子空間，因為平凡子空間結論成立顯然。
由於\(U\ne \{0\}\)，所以可以找到\(v_1\in U\)。接下來循環此流程：
- 令\(j=2\)；
- 如果\(U=\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j-1})\)，則退出循環，證明結束；
- 取\(v_j\in U\)，且\(v_j\notin\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j-1})\)。
這一流程的可停止性在於，每一步構造的向量組都是線性無關組，故長度不可能超過\(V\)的張成組，所以流程一定會停下。
本部分結論的證明，基本都基於線性無關向量組的擴充，還有線性相關向量組的歸約。因此，線性相關性引理是非常重要的。
例題
第一題（1.C 5）：\(\mathbb{R}^2\)是復向量空間\(\mathbb{C}^2\)的子空間嗎？
感覺子空間部分的例題如果做不出來，大多還是數學分析上的基礎弱了一些，再者就是注意陷阱。
如果是\(\mathbb{C}^2(\mathbb{C})\)，則不是（因為關於標量乘法不封閉）；如果是\(\mathbb{C}^2(\mathbb{R})\)則是，但一般不這么指。
第二題（1.C 12、13改）：如果\(\mathbb{F}\)是一個含有無限元素的數域，則對任何整數\(n\)，\(V=U_1\cup\cdots \cup U_n\)當且僅當其中一個子空間包含其他的子空間。
這題的重點在於無限元素，至少\(\mathbb{F}\)中的元素個數要不小於\(n\)。
如果
\[V=\bigcup_{i=1}^n U_i, \]則在\(U_1\)中任意一個非零元素\(x\)，在\(V-U_1\)中找一個非零元素\(y\)，必有
\[\forall k,x+ky\notin U_1,x+ky\in V. \]故假設
\[x+ky\in U_j,\quad j\ne 1. \]由於\(\mathbb{F}\)中含有無限元素，所以必能找到兩個\(k_1,k_2\ne 0\)，使得
\[x+k_1y \in U_j,\quad x+k_2y \in U_j, \]將兩個元素作差，得到
\[(k_1-k_2)y\in U_j\Rightarrow y\in U_j, \]進而
\[x=x+k_1y-k_1y\in U_j, \]這說明
\[U_1\subset \bigcup_{i=2}^{n}U_i. \]即
\[V=\bigcup_{i=2}^n U_j. \]以此類推，只要\(V\ne U_j\)，\(\forall j=1,2,\cdots,n-1\)就能得到\(V=U_n\)，這依然表明\(U_n\)包含了其他所有子空間；如果\(\exists j=1,\cdots,n-1\)使得\(V=U_j\)，就說明\(U_j\)包含了其他所有的子空間，結論得證。
第三題（2.A 14）：證明：\(V\)是無限維的當且僅當\(V\)中存在一個向量序列\(v_1,v_2,\cdots\)使得當\(m\)是任意正整數時，\(v_1,\cdots,v_m\)都是線性無關的。
組長度引理會在本節的證明中發揮重要的作用，好多題目都能用上。另外，本題的結論可以直接用於驗證向量空間是無限維的，如2.A的15和16題。
必要性：現在\(V\)不是有限維的，可以找到\(v_1\ne 0\)。對\(j=2,3,\cdots\)，由於\(V\)不是有限維的，所以\(V\ne \mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j-1})\)，故可以找到\(v_j\ne 0\)，\(v_j\in V\setminus\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_{j-1})\)。
充分性：現在可以找到這樣的一個序列\(v_1,\cdots,v_2\)，假設\(V\)是有限維的，則存在一個張成組
\[\{u_1,\cdots,u_n \}, \]設其程度為\(n\)，取\(m=n+1\)，則\(\{v_1,\cdots,v_m\}\)是\(V\)中的一個線性無關組。此時線性無關組長度大於張成組，與組長度引理矛盾。所以\(V\)不可能是有限維的。
進而，對第15題，這個向量組的構造為\(e_1,e_2,\cdots\)，其中\(e_m\)代表第\(m\)個元素為1，其他元素為0的向量。對第16題，這個向量組的構造為\(f_1,f_2,\cdots\)，其中\(f_m(x)=x^{m-1}\)。