在線性代數第二節開始之前，有一些感悟要先分享一下。最近線代專欄第二節之所以拖了這么久，一方面時生活方面有所懈怠，一方面是發現要想真正搞好一門學問，必須要熱愛這門學問。最明顯的例子就是當我們在學習數學的時候，如果僅僅是為了使用公式，那大可不必來探究數學，只需要查一查公式，然后知道公式的運用場景就好了。但是既然踏入了這個學科，就是不僅要知其然，還要知其所以然。如果沒有對於學科的熱愛，是很難支撐下去的。比如對於一個簡單的定理證明，是需要嚴謹的數學思維的。但是大多數時候我們都是看一看定理就過了，沒去探究定理怎么推出來的，此時我們已經丟掉了學習數學最重要的東西——嚴謹的數學思想。比如今天我知道了這個定理，那么我能否活用這個定理呢？這個定理會不會有什么變種呢？這種問題如果深入證明研究，就會觸類旁通，一方面加強了自己的數學思維，一方面加深了自己對定理的理解與記憶。但是這一切都是建立在對數學的熱愛上的，否則你無法堅持下去。
也是這段時間的空檔，讓我有了反思。之前學習數學太過於快餐式了，撿了芝麻丟了西瓜，雖然不是從事數學這個行業，但是對於數學的熱愛是從小就有的，但是不知道何時，把自己熱愛的東西慢慢的遺忘了。
回顧我們上一節的幾個符號：F代表任意域，R代表實數，C代表復數，V表示F上的向量空間。
OK，開始這章的學習——有限維向量空間
向量組：
我們把諸如（1，2，3），（4，5，6）多個向量用逗號組合起來的形式稱為向量組。
線性組合：
V中的一組向量v1,v2,v3...vm的線性組合形式如下：
, 其中v1,v2,v3...vm∈F。
張成空間：
V中一組向量v1,...vm的所有線性組合所構成的集合稱為v1,...vm的張成空間，記為span(v1,...vm),即：
空向量組的張成空間定義為{0}.我們稱v1,...vm張成V.
張成空間最淺顯的例子就是我們的三維空間是被xyz三個軸向量張成的。即三維空間中所有的向量都可以用xyz三個軸向量的線性組合表示。
V中一組向量的張成空間是包含這組向量的最小子空間。
看到這個定理，我們就要回顧一下什么是子空間：如果V的子集U也是向量空間，則稱U是V的子空間。
那么接着回顧，什么是向量空間呢？向量空間就是帶有加法和標量乘法的集合V。
也就是說，V中一組向量的張成空間是一個向量空間，怎樣的向量空間呢？包含這些向量所有加法和標量乘法所得到的向量的一個最小集合。從這里我們能看出，張成空間的定義和向量空間的定義似乎非常的相似。之所以相似是因為張成空間也是一個向量空間，所以向量空間滿足的條件，張成空間也滿足，但是張成空間是一個特殊的向量空間，特殊性就體現在最小二字上。舉個淺顯的例子，我用xy軸向量可以張成出在一個平面內的所有向量的集合（即向量空間），但是我不能通過xy兩個軸向量張成出任意三維的向量空間。所以最小這個詞其實是對子空間的限制。
有限維向量空間：
如果一個向量空間可以由該空間中的某個向量組張成，那么稱這個向量空間是有限維向量空間。
怎么理解這句話呢？即如果一個向量空間是可張成的，那么就是有限維的。那么在這里也可以給出無限維向量空間的定義：一個向量空間如果不是有限維的，則稱為無限維的。
目前對於有限維向量空間是這樣定義的，為什么可張成的才是有限維的呢？無限維向量不可張成嗎？對於這個疑問，有興趣的童鞋可以更加深入學習一下無限維向量空間，線性代數主要針對的是有限維空間，所以這里不做贅述。
多項式：
對於函數p:F->F,若存在a0,...am∈F使得對於z∈F均有(如果有忘記的小伙伴提醒一下->這個符號代表映射關系，高中知識)
則稱p為系數屬於F的多項式（其實就是中學學習的多項式）
P(F)是系數屬於F的所有多項式組成的集合。這里注意一下，這個P(F)就是一個無限維的向量空間，為什么呢？請嘗試自己思考。
多項式的次數：對於多項式p∈P(F)，若存在標量a0,a1,...,am∈F，am≠0，使得對任意z∈F有
則說p的次數是m，記作deg p = m.
恆等於0的多項式次數為-∞
pm（F）定義為最高次數為m的所有多項式構成的集合。
線性無關：
若線性組合a1v1+...+amvm=0成立只有當a1=...=am=0時，稱v1,...vm這組向量線性無關，這個向量組稱線性無關組。（規定空組是線性無關的）
舉個最簡單的例子，向量組（0，1），（1，0）的兩個向量若想k1*(0,1) + k2*(1,0) = 0 ,只有當k1=k2=0時才成立，則這個向量組就是一個線性無關組的例子。
線性相關：
如果一組向量不是線性無關的，那么就是線性相關的。即若線性組合a1v1+...+amvm=0成立a1=...=am=0不是唯一情況時，這個向量組時線性相關的，這個向量組稱線性相關組。
還是舉例子，向量組（1，0），（2，0）的兩個向量如果有k1*(1,0)+k2*(2,0) = 0,則k1和k2有非常多的取值可以滿足，那么這個向量組就是一個線性相關組的例子。
這里提一個問題自己算一下加深印象：F3中的向量組（2，3，1），（1，-1，2），（7，3，c）如果線性相關，c的值是多少？
設v1...vm是V中的一個線性相關的向量組，有j∈{1，2，...，m},aj≠0，那么就會有以下線性相關引理：
1.
2.若從v1,...vm中去掉第j項，則剩余的張成空間等於span(v1,...vm).
這兩個引理如何理解呢？意思就是當一個線性相關的向量組任意去掉一個向量，剩下的向量張成的空間和原向量組張成的空間是一個空間。如何證明？
首先如果向量組滿足線性相關，則必有a1v1+...+amvm=0的am的解不是唯一的0，那么隨機取出一個系數不為0的向量ajvj，取系數aj，則有
vj = -a1v1/aj-...-amvm/aj，即vj向量可以由剩余向量的線性組合所形成，那么vj也在剩余向量的張成空間內，這就證明了上述引理。
那么這個證明有一個前提，隨機取出系數不為0的向量ajvj，即上述證明的前提是aj≠0，那么如果aj=0會怎樣呢？請自行思考，加深印象。