向量空間又稱線性空間，是線性代數的中心內容和基本概念之一。在解析幾何里引入向量概念后，使許多問題的處理變得更為簡潔和清晰，在此基礎上的進一步抽象化，形成了與域相聯系的向量空間概念。
線性組合
線性組合（liner combinations）這個概念曾經被多次提到，如果v1,v2…vn是n維向量，即vi∈Rn，那么t1v1 + t2v2 + … + tnvn就是v1,v2…vn 的線性組合，ti∈R。從定義可以看出，線性組合僅包括乘法和加法，只有同階向量才涉及到線性組合。
如果有兩個二維向量：
下面是可能存在的線性組合：
最后一個組合最終得到零向量，零向量也是一個線性組合。此外，按照慣例，單個向量用列向量表示。
單個向量同樣存在線性組合。下面是a可能存在的線性組合：
向量空間
概念沒什么好解釋的，經常提到二維空間R2，三維空間R3，n維空間Rn，這些就是向量空間。
以R2空間為例，如果有兩個指向不同方向的非零向量a和b，那么R2空間的所有向量都可以用a和b的線性組合得出；a和b的所有線性組合都在R2空間內。這也意味着，向量空間對向量的所有線性組合封閉。下面是一個不封閉的例子，如果定義R2的第一象限是向量a(1,1)的向量空間，那么a的所有線性組合應該全部在第一象限內，但是 –a卻落在了其它象限，所以第一象限不對a封閉，也不是a的向量空間。
向量張成的空間
如果幾個向量的線性組合在某一個向量空間中，並且該向量空間僅包括這幾個向量的線性組合，那么這個向量空間就叫做這幾個向量張成的空間。簡單地說，N個向量張成的空間就是N個向量的線性組合。
以R2空間為例，如果有兩個指向不同方向的非零向量a和b，那么a,b張成的空間就是R2，用span(a, b) = R2 表示。如果是兩個平行的向量，a’ = <1, 1>，b’ = <-1, -1>，那么它們無法張成R2，因為無論怎樣線性組合，也不可能得到<1, -1>，實際上，a’b’ 張成的空間是一條直線：
同樣，span(a)張成的空間也僅僅是a的伸縮，所以span(a)也是一條直線。很明顯，0向量張成的向量空間還是0向量。
需要注意的是，a是經過原點的，如果很不幸地將a畫在了別的地方，它張成的空間就不是直線了，因為其中一個線性組合0a並不在直線上：
線性相關和線性無關
如果有兩個向量<2,3>和<4, 6>，它們張成的空間是什么呢？
根據定義，這兩個向量的線性組合是：
這相當於單個向量<2, 3>的線性組合，是一條直線。實際上，這正是過原點的直線參數方程（直線的參數方程可參考《線性代數筆記6——直線和曲線的參數方程》）。
上面的兩個向量就是線性相關的，這意味着它們中的一個可以用另一個的線性組合表示，也就是說其中一個向量是多余的，或者說它們不是獨立向量（對同一種現象，線性代數從不同的角度會有多種叫法，這多少令人迷惑）。與之相反，就是線性無關。
再來一組向量，看看它們是線性相關還是線性無關？
看起來是線性無關的，其中一個向量無論再怎么增大，都無法表示另一個，但是線性組合不僅僅包括數乘：
v3是v1v2的線性組合，所以這三個向量是線性相關的。換個角度看，v1v2是線性無關的，span(v1, v2) = R2，R2中的每個向量都可以由v1, v2的線性組合表示，而v3∈R2，所以v3也可以由v1, v2的線性組合表示，它是個多余向量（當然，也可以說v1或v2是多余的，因為三者中的任意一個都可以由另外兩個表示，所以三者等價），對張成空間沒有任何貢獻，因此v1v2 v3是線性相關的。span(v1, v2, , v2) = R2
有了上面的鋪墊，可以用數學語言描述線性相關的定理：如果存在一個集合S = {v1, v2,…,vn}，當這個集合滿足t1v1 + t2v + … + tnvn = Z 時，S中的向量是線性相關的，其中Z是0向量，ti∈R，ti 不全為0。
這似乎有些讓人困惑，如果換一種寫法就很清晰了。假設t1 ≠ 0：
現在可以看出，定理描述的是，v1可以用其它向量的線性組合表示。在判斷線性相關的時候，定理提供了一種有效的方案。
現在有兩個向量：
或許很容易看出它們是線性無關的，現在根據上面數學描述看一種新方案：
現在判斷線性相關變成了解方程組的問題，因為這個方程組解得t1 = 0, t2 = 0，所以兩個向量是線性無關的，t1t2至少有一個不為0才是線性相關。
子空間
設V是 Rn的一個非空子集，若V中的任意N個向量的線性組合依然屬於V，則稱V是 Rn的一個線性子空間，簡稱子空間。
根據概念，如果V是Rn的線性子空間，則V一定滿足三個條件，
- 包含0向量；
- x是V中的一個向量，x和一個標量的乘積也在V中，即數乘封閉性；
- a和b是V中的向量，a+b也在V中，即加法封閉性。
上面的2、3可以看作是V中任意兩個向量的線性組合。
對於R2來說，它的子空間有三個， R2本身、Z、所有經過原點的直線。
對於R3來說，它的子空間有四個， R3本身、Z、所有經過原點的直線、所有經過原點的平面。
來看一個例子，下面的V是否是R2的子空間？
可以通過分量的取值范圍得知，V是直角坐標系的一、四象限：
可以根據子空間的條件逐一檢驗，首先0向量在V內；再看加法封閉性，這樣定義V中的任意兩個向量：
由於a1+a2 ≥ 0，所以滿足加法封閉性。最后看乘法封閉性，當標量為負數時，其結果已經超出了一、四象限，不在V中，所以不滿足乘法封閉性，V不是R2的子空間。
最后，向量集合張成的空間一定是子空間，所以也經常說“向量張成的子空間”。
子空間的基
簡單地說，基就是張成子空間所需要的最小向量集。
如果一個向量集S={v1, v2 … vn}中的向量是線性無關的，S張成了一個子空間V，S就叫做V的一組基，{v1, 2v2, 3v3 … nvn} 是另一組基，但是它和第一組沒什么本質區別。
下面的集合S1和S2都是R2的一組基：
因為S2中的兩個向量是R2空間兩個維度上的單位向量，所以S2也叫做R2的標准基。
作者：我是8位的
