線代筆記
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1.線性相關
（1）你有多個向量，並且可以移除其中一個而不減少張成的空間,當這種情況發生時，相關術語稱它們是“線性相關”的。另一種表述就是，這個向量可以表示為其它向量的線性組合，因為這個向量已經落在其它向量張成的空間之中。
另一方面，如果所有向量都給張成的空間增添了新的維度，它們就是線性無關的。對於向量而言，兩個向量線性無關可以簡單的認為,只要兩個向量中的各個數字不是成倍的就行。
2.線性變換
（1）如果一個變換具有如下兩條性質，我們就稱它是線性的，一是直線在變換后仍然保持為直線，不能有所彎曲，二是原點的位置必須保持固定。（猜測：這樣才能保證可加性和成比例(數乘性)）。應該把線性變換看作是“保持網格線平行且等距分布”的變換。
仿射變換，又稱仿射映射，是指在幾何中，一個向量空間進行一次線性變換並接上一個平移，變換為另一個向量空間。
（2）矩陣對某一向量進行變換，(a,c)和(b,d)各是進行線性變換過后的一組基向量，(a,c)是x軸，(b,d)是y軸。向量(x,y)則是標准坐標系的一個向量的坐標值，標准坐標系下，向量(x,y)是以(1,0),(0,1)作為基定義的,表達式：(x,y)=x*(1,0)+y*(0,1)。現在基變成了(a,c)和(b,d),由於是線性變換，關系不變，只是在原先的坐標系看來，你的坐標被拉伸了。所以x*(a,c)+y*(b,d)就是(x,y)經此矩陣變換過后的在標准坐標系中的向量坐標。
在變換后的坐標系中，還是按照(x,y)去描述,只不過是基向量不同。而它在標准坐標系中的坐標變成了（ax+by,cx+dy）。
（圖：變換過程）
（3）矩陣本質就是變換，如果變換后的基向量是線性相關的。例如下圖，以此作為基向量是展開不了空間的。由於兩個基向量重合在一條線上，經歷此變換的話，會將二維空間壓縮到一條直線上，降至一維空間。
3.矩陣乘法
首先一個向量經歷矩陣M1（旋轉矩陣）變換,再經歷矩陣M2（剪切矩陣）變換。結果而言最是一組新的基向量組成的線性空間。那么這組新的基向量組成的線性空間實際上相當於2次矩陣變換的乘積。
需要注意的是，理解的時候這里需要從右往左讀，也就是書寫表達式的時候，先應用的變換得寫在右面，后應用的變換要寫在左面。類似用f(g(x)的函數記號方法。
首先想象一下，M1的線性空間內的基向量i:(1,1)和j:(-2,0)要進行矩陣M2的線性變換。
那么先執行i向量的線性變換。
再執行j向量的線性變換。
就算出了結果,且推論出矩陣公式。
值得注意的是矩陣乘法不滿足交換律，想象一下，先進行坐標系逆時針旋轉90度的線性變換，然后剪切變換（1,0）（1,1），和先執行剪切變換后逆時針旋轉的結果不同，基向量之間的夾角分別是銳角和鈍角。
但是矩陣乘法是滿足結合律的
想象一下，對一個向量旋轉和縮放，然后剪切與先旋轉，然后縮放剪切完全沒有區別，根本不需要證明。
拓展到三維矩陣乘法
第一組基向量（0,7,2）執行變換,0*(1,1,1)+7*(3,0,2)+2*(2,0,2)就能得到結果的第一列基向量（25,0,18）
4.行列式求值
行列式求值，描述的是經歷線性變換后，面積或者體積（二維和三維）的縮放系數首先不經歷線性變換，兩個單位基向量組成的區域為1，經歷矩陣變換后，組成區域的面積就發生了變換，將矩陣寫成行列式的形式，求出的值即為線性空間整體的面積縮放。有時候行列式求出的值是0，表示，矩陣的變換的列向量之間必然是線性相關的。讓面積蜷縮到了一條線上。有時候行列式求出的值是負數，表示面的朝向發生了變化。
拓展到三維空間中，行列式的值可以看做單位正方體經歷線性變換后的平行六面體的體積。行列式為負數，則空間取向翻轉了，違反了右手定則，詳見 Av6179111，只有方陣才有行列式。
行列式求值的話，幾何意義如下，（a,0）和（0,d）構成的區域為長方形，可以直接算作ad。
b,c任意一項為0的話，由於組成的是平行四邊形，所以還是ad
b,c都不為0，就需要靠這張簡圖了。最終結果精簡為ad-bc
由此還可以推論，兩個矩陣的行列式的值的乘積等於其復合矩陣的行列式的積。經歷變換后面積還是相同的。
5.線性方程組
線性方程組到矩陣的轉換圖
幾何意義：已知經歷矩陣轉換后的向量(-3,0,2)和矩陣，求轉換之前的未知向量(x,y,z)
這樣只要將矩陣變換反過來就行了,也就是需要求出矩陣的逆，並與轉換后的向量(-3,0,2)相乘，就能得到轉換之前的未知向量(x,y,z)
為什么矩陣乘以矩陣的逆的結果是單位矩陣？因為先進行一次矩陣變換，再逆回去，相當於什么都不做。那么基向量還是（1,0）和（0,1）也就是所謂的單位矩陣。
之前說過行列式值如果為0，二維空間就可能被壓縮到一條線上，這種情況下，即使給定轉換后的向量，也無法求出之前的向量(相當於有無數的解與之對應)。相當於你不能將一條線解壓縮到一個平面，所以行列式的值為0的話，矩陣就不存在逆。
拿三維矩陣舉例，矩陣的三個基向量最大可以展開空間到三維，也有可能壓縮到二維空間（面）或者一維空間（線）中。這個就是矩陣的秩，代表當前矩陣能展開到幾維空間。
6.列空間：
對於任意向量而言，矩陣對其變換后的所有解可能是一個空間，或者一個面，或者一條線，對矩陣來說，所有可能的輸出向量構成的集合就是矩陣的列空間。所以矩陣的秩相當於其列空間的維數。之所以叫做列空間，是因為矩陣本身每列都是變換后的基向量，所有解本質是基向量的組合。由於矩陣展開的維度是由其列向量中線性無關的數量決定的，也可以用此來求秩。
零向量一定在列空間中，因為原點不變，(0,0)變換后還是(0,0)。在滿秩變換中，每個解都有唯一的原向量與之對應。非滿秩的情況下，有其他向量會被壓縮到零向量里，
在變換后落在原點的原向量集合被稱為這個矩陣的零空間或核。
7.非方陣的幾何意義
對於3*2的矩陣，可以理解為輸入2個基向量,但是變換后的基向量是用三個獨立的坐標來描述的，解的維度還是平面，只不過是用空間中的向量坐標去表示這個平面了。將二維空間映射到三維空間上。
需要注意的是，這個矩陣仍然是滿秩的，因為，原向量是二維，輸出向量還是二維且一一對應，所以是滿秩。
對於2*3的矩陣，原始空間的基向量有3個，但變換后只用兩個坐標去描述它，相當於三維空間在二維坐標系上的投影。
(此矩陣的秩應為2，因為輸入是3 個基向量，輸出是投影到2維空間的)
7.點積
例如：向量（1,2）和向量（3,4）的乘積可以轉換為下圖，向量可以視作一維矩陣（就像基向量一樣，x寫在上面，y寫在下面）
得出公式1:
公式2：通常用來算夾角,將兩個向量歸一化之后，通過點積可以直接算出cosa的值。例如60度0.5,90度0
8.叉積
在二維空間中，叉積算出的向量的模實際是在計算兩個向量的面積，例如（3,1）和（2，-1）的叉積，可以視作接通過計算兩個基向量組成矩陣的面積，從而算其行列式的模。
叉積算垂直於2個向量平面的第三個向量符合右手定則，叉積方向由此確定。
如圖所示，叉積的長度是v和w組成的面積。
補充：這個是標准坐標系，綠色是x，j紅色是y，藍色是z
拓展到三維，叉積可以按照行列式的計算方法去推導叉積的計算公式
9.基變換
如果以矩陣轉換后的空間作為坐標系，我們可以通過矩陣得知該坐標系的基向量的坐標。
(2,1)(-1,1)。
那么在該新的坐標系中，（-1,2）所代表的向量的含義是什么，怎么轉換到標准坐標系？
含義就是-1*基向量i+2*基向量j。在它的坐標系中基向量i是（1,0），基向量j是（0.1）。
但由轉換矩陣可知在標准坐標系中，它的基向量是(2,1)和(-1,1)。,所以由此可以算出矩陣轉換后坐標系(-1,2)在標准坐標系中的坐標(-4,1)。
會發現這其實是矩陣和向量的乘法。但是經常給人帶來錯覺，感覺上這個矩陣是將標准坐標系變換為其它坐標系，這個式子好像是將標准坐標系下的向量(-1,2)線性轉換到新的坐標系下，看看新坐標是什么？
實際不是，這里應該將(-1,2)單純看作是坐標系中對基向量的組合系數，給出基向量組合系數，再給出當前所謂的基向量(即矩陣)，就能知道在標准坐標系下，這個(-1,2)的坐標到底是什么。
那么如果是標准坐標系下的坐標(如（3,2）,給定矩陣的基向量，想知道在這組基向量下，所描述的坐標是多少？
仔細回想一下，之前求線性方程組解的時候，提到了已知轉換后的的在標准坐標系下的向量(3,2)，求在某組基向量下的未知向量。只需要此向量乘以矩陣的逆即可。
那么如果在標准坐標系下的旋轉矩陣，用變換后的矩陣所在的線性空間來描述，該怎么描述？比如旋轉矩陣。
首先如圖所示，還是從右往左讀，先對空間按矩陣進行一次變換，然后進行旋轉了，得到了復合矩陣。然后再乘以此矩陣的逆，就是在此矩陣空間下描述的旋轉矩陣。
輸入一個用此矩陣空間描述的向量，與等式右端的矩陣相乘，輸出的向量就是在此空間下旋轉了90度的向量（還是用此空間描述）。
還可以推出如下的表達式。注意矩陣乘法不滿足交換律，所以A的逆不能和A先合並成單位矩陣。
10.特征值
在進行線性變換時，有時會存在一條線上的點並不隨此變換而偏離其所在的線，這些向量叫做矩陣變換的特征向量，例如坐標的伸縮程度(1,1)到(2,2)為2，叫做該矩陣的特征值。
例如旋轉矩陣，如果你找到這么一條線，實際上就是找到了它的旋轉軸。但是旋轉不縮放任何一個向量，所以特征值為1。（av6540378）
11.抽象向量空間
在線性空間內，函數也可以看做向量，其滿足相加性和成比例。（函數的求導也是線性運算）那么對於一個函數來說，其也存在對應的基向量——基函數。任意一個向量可以看作基向量的線性組合，函數也可以看作基函數的線性組合。
舉例來說：求導函數可以視作矩陣轉換，對某函數求導，相當於對一個向量進行矩陣變換。如下所示。左邊的求導矩陣是將4個基函數每個進行求導得到新基函數組成的矩陣。結果得出了轉換后的向量（0,4,10,3）
