圖（Graph）是離散數學中的一種常見數據結構，由節點和邊組成，如果邊有方向，就是有向圖。下圖是一個有4個節點5條邊的有向圖：
這個圖（Graph）可以表示電網、網絡或建築物通道的數學模型。
關聯矩陣
可以通過一個矩陣來解析有向圖，這個矩陣稱為關聯矩陣（Incidence Matrix）。4個節點5條邊的圖用一個5×4的矩陣表示，用正負表示邊的方向，矩陣的一行相當於圖的一條邊，矩陣的一列對應圖的一個節點：
以A的第一行為例，它對應圖的第一條邊e1，e1的方向是從n1指向n2，與n3和n4無關。如果將A中的-1全部改為1，就變成了無向圖。
A的前三行對應了三邊e1,e2,e3，它們構成了圖中的一個回路。對於一個圖來說，回路的數量和位置至關重要。把回路單獨拿出來看：
問題之一是：這三行相互獨立嗎？或者說它們是否是線性無關的？
似乎很容易看出，第3行可以由第1行和第2行相加得到，這說明回路對應的行是線性相關的。從圖上看，從n1到n3可以n1→n3，也可以n1→n2→n3，所以說n1→n3是“多余”的，它可以由“繞行”代替。
存儲大型關聯矩陣
如果用關聯矩陣描述一個大型圖，你會發現矩陣中的0非常多，這個矩陣是一個稀疏矩陣。用計算機存儲這個矩陣時，應當考慮是否應該用鄰接表代替二維數組，同時也可以使用一維數組代替二維數組。
鄰接表是一種常用的數據結構，它是一個存儲了鏈表的一維數組。
還是這個圖，現在不考慮方向，用一維數組描述：
L[4]是有4個節點的數組（假設數組下標從1開始，和Matlab一樣），初始元素都為0，這樣構造數組：
n1與n2聯通，將L[1]與L[2]賦予n2的序號，L = [2,2,0,0]；
n2與n3聯通，將L[2]和與L[2]相連的所有節點都賦予n3的序號，L = [3,3,3,0]；
n3與n4聯通，將L[3]和與L[4]相連的所有節點都賦予n4的序號，L = [4,4,4,4]。
對於回路不必重新負值：
n1與n4聯通，但是它們之間已經有回路了，L[1] == L[4]；
n1與n3聯通，它們之間同樣有回路，L[1] == L[3]。
最終，L = [4,4,4,4]，判斷兩點np與nq是否聯通，只需要判斷if L[p] == L[q]即可。
關聯矩陣的零空間
如果A的零空間是零向量，則意味着Ax = 0有唯一解，此時A應當是方陣，A的行最簡階梯矩陣是單位矩陣，A的各列線性無關。
A不是方陣，所以x沒有唯一解。這很容易驗證，Ax = 0中，x有4個分量，方程組中有5個方程，但只有4個未知數，所以方程有無數解。
只要x1 = x2 = x3 = x4，就滿足Ax = 0。A的零空間是位於R4空間下的1維空間：
如果A是電網，xn表示每個節點的電勢，則上面的N(A)意味着所有節點的電勢相等，不存在電勢差，因此不存在電流。如果把n4節點接地，就會產生電勢差，此時相當於將x4的電勢設為0：
對於Ax來說，x4 = 0意味着A的最后一列不起作用（最后一列的各個分量與0的相乘總是0）。這樣，A前三列就變成線性無關，實際上A的任意三列都是線性無關，A的秩是3。
作者：我是8位的
