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微分方程指含有未知函數及其導數的關系式，解微分方程就是找出未知函數。未知函數是一元函數的，叫常微分方程；未知函數是多元函數的，叫做偏微分方程。常微分方程有時也簡稱方程。微分方程是一門復雜的學科，對於常微分方程來說，可以使用特征值和特征向量的知識求解。
相關前置知識：
微分方程：單變量微積分11——常微分方程和分離變量
泰勒公式：單變量微積分30——冪級數和泰勒級數
泰勒公式在0點展開的原因：多項式函數能夠擬合非線性問題原理
求逆矩陣：線性代數筆記8——求解逆矩陣
求行列式：線性代數20——行列式和代數余子式
特征值和特征向量：線性代數22——特征值和特征向量
矩陣對角化：線性代數筆記23——矩陣的對角化和方冪
常微分方程的一般解法
根據概念構造一個常微分方程：
目標是求得原函數u=u(t)的具體形式。通過積分求解：
這就是最終答案的通解，C是任意常數。實際上這種解法就是利用了不定積分的知識：
如果du/dt=u，可以使用分離變量法的求解方式：
也就是說，當函數的導數是函數本身的時候，這個函數就是型如Aet的函數，由於A=eC是任意常數，所以經常用C代替A，寫成u=Cet的形式。
同理，對於du/dt=λu，微分方程的解是u(t)=Ceλt。當t=0時：
由於C是任意常數，因此可以取C=u(0)，得到u(t)= u(0)eλt，這樣做可以去掉常數C。在實際問題中，u可以表示關於時間t的函數，對於時間來說，通常可以把t=0看作初始條件。
常微分方程與矩陣
現在將常微分方程擴展為常微分方程組，u1=u1(t)，u2=u2(t)，初始條件是t=0，初始值是u(0)=(1,0)，求解微分方程：
可以把微分方程組寫成向量矩陣的形式：
相當於將常微分方程中轉換成了du/dt = Au的線性形式。
常微分方程的線性代數解法
對於du/dt = Au來說，u1和u2之間存在耦合（沒有耦合就沒必要寫成方程組了），A表示它們的耦合關系：
A可以用特征值和特征向量對角化，因此方程的解和矩陣A的特征值和特征向量存在關聯關系。先求矩陣A的特征值。
或許你可以馬上看出A是個奇異矩陣，因此一個特征值是λ1=0。特征值之和是矩陣的跡，跡是矩陣主對角線元素和，因此可以求得另一個特征值是λ2=(-1-2)-0=-3。
當然也可以用正統的方法求解：
接下來根據特征方程求得特征向量。
特解
微分方程組有兩組特解：
這是兩個純指數解的組合。需要注意的是，這里x1和x2都是二維向量，因此v1和v2也是二維的。
來驗證一下v1，如果u=v1是方程的解，把v1代入原方程：
只要驗證①=②是否成立就可以了，假設等式成立：
x1和λ1是Ax=λx的一組特征向量和特征值，因此①=②成立，v1是微分方程的解。同理，v2也是微分方程的解。
通解
對於du/dt = Au來說，如果v1和v2是方程的解，那么它們的線性組合也是方程的解，因此微分方程的通解是：
驗證的方法和驗證特解類似：
只要驗證③=④是否成立就可以了，假設等式成立：
x1和λ1是Ax=λx的一組特征向量和特征值，因此⑤成立。同理，⑥也成立，因此通解成立。
最后將λ和x的值代入通解：
如果沒有初始條件，到這里就結束了，這就是u(t)的形態。本例給出了初始值，可以由此繼續計算出C1和C2：
當t→∞時：
隨着t的增加，u(t)逐漸收斂到一個定值，我們稱u(t)為穩態。
通解指出了當A是2×2矩陣時u(t)達到穩態的條件：A的其中一個特征值是0，且另一個特征值小於0（如果是復數，則復數的實部小於0）。如果λ1=0, λ2>0，u(t)是發散的。
解耦
回顧上一節的內容，在通過初始值求解C的時候：
如果用S表示特征向量矩陣，則上式可以寫成Sc=u(0)，即通過Sc=u(0)可以求得c。
常微分方程組du/dt = Au，u=(u1, u2)，u1, u2是兩個互相耦合的未知函數，A表明了它們的耦合關系，求解微分方程組的關鍵是如何解耦，而解耦的方式正是利用特征值和特征向量。現在的問題是，能否把微分方程的解表示成S和Λ的形式（Λ是特征值矩陣，參考上一章內容）？
既然u是通過A耦合的，A又能通過S和Λ對角化（A=SΛS-1），因此u可以用特征向量矩陣S解耦，令u=Sv，v(t)是某個未知的常微分方程組：
S是常矩陣，因此：
根據上一章矩陣對角化的內容：
這實際上是得到了沒有耦合的新方程組：
每個方程都可以套用一開始講過的內容：du/dt=λu，微分方程的解是u(t)=Ceλt，再代入初始條件t=0，u(t)=u(0)eλt：
將二者合並：
v(0)的具體值我們不知道也不關心，只知道是個常向量，Sc=u(0)，c是任意常向量，設c=v(0)：
更進一步：
接下來解釋為什么會得到這個結論。
矩陣指數exp(At)
A是矩陣，eAt是以矩陣為指數的表達式，它代表什么意思呢？
我們知道f(x)在x=0點處的泰勒展開式：
ex在x0=0點處的泰勒展開式是：
0的階乘是1。展開式是收斂的，越靠后的項對總體的影響越小，越接近於0。證明起來較為容易：
因此ex是收斂的。
同樣，eAt也在At=O點處進行泰勒展開，注意這里的O是A的同階零矩陣，eO等於單位矩陣：
eAt也是收斂的。
上一章已經講過矩陣的對角化：
代入到eAt中：
中間的一大堆正好是e∧t的泰勒展開式，因此eAt最終可以寫成：
這就是矩陣指數的公式，當然，上式成立的前提是A可以對角化，即An×n存在n個獨立的特征向量。
最后再來看看e∧t是什么。
和通解的形式一致，如果有初始值，可以根據初始值計算出具體的C。
二階常微分方程
現在有一個二階常微分方程：
求解時需要把方程轉換成矩陣的形式：
這就又變成了du/dt=Au的形式，可以用矩陣直接求解。
綜合示例
求解三階常微分方程並構建eAt：
接下來需要求得A的特征值和特征矩陣。根據特征方程可得到：
接下來通過3個特征值求的特征向量：
第1個特征向量的特解是：
類似的方式求得另外兩個特征向量：
u(t)的通解：
最后來構建eAt：
相關前置知識：
微分方程：單變量微積分11——常微分方程和分離變量
泰勒公式：單變量微積分30——冪級數和泰勒級數
泰勒公式在0點展開的原因：多項式函數能夠擬合非線性問題原理
求逆矩陣：線性代數筆記8——求解逆矩陣
求行列式：線性代數20——行列式和代數余子式
特征值和特征向量：線性代數22——特征值和特征向量
矩陣對角化：線性代數筆記23——矩陣的對角化和方冪
作者：我是8位的
出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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