特征值矩陣
假設A有n個線性無關的特征向量x1,x2……xn，這些特征向量按列組成矩陣S，S稱為特征向量矩陣。來看一下A乘以S會得到什么：
最終得到了S和一個以特征值為對角線的對角矩陣的乘積，這個對角矩陣就是特征值矩陣，用Λ表示：
沒有人關心線性相關的特征向量，上式有意義的前提是S由n個線性無關的特征向量組成，這意味着S可逆，等式兩側可以同時左乘S-1：
AS=SΛ和S-1AS=Λ就是對角化的兩種方法。需要注意的是，並非所有矩陣A都存在n個線性無關的特征向量，這類矩陣不能對角化。
矩陣對角化還有另一種表達：
我們已經知道了矩陣的LU分解，A=LU；格拉姆-施密特正交化，A=QR；現在又多了一種對角化分解，A=SΛS-1
矩陣的方冪
如果A存在特征值和特征向量，即Ax = λx，那么A2的特征值和特征向量是什么？
這在上一章的示例中出現過，將Ax = λx的等式兩側同時左乘A就可以表示A的特征向量：
由於λ是標量，所以可以把λ單獨提出來：
現在可以得出結論了，A2的特征向量不變，特征值變成了λ2
可以用同樣的方式看看A2的對角化：
按照這個思路可以繼續計算Ak的對角化，Ak的特征向量不變，Ak的特征值矩陣是A的特征值矩陣的k次方：
根據上式，如果k→∞，在所有特征值|λi|<0時，Ak→0，當然，前提是A有n個線性無關的特征向量。
對角化的前提
對角化的前提是A存在n個線性無關的特征向量，問題是怎樣判斷A存在n個線性無關的特征向量？一個判斷方法是：當A的所有特征組互不相同時，A必然存在n個線性無關的特征向量；如果存在重復的特征值就不好說了，需要另行判斷。
n階單位矩陣的所有特征值都是1，但是它仍然有n個線性無關的特征向量，因此單位矩陣可以對角化：
再來看三角矩陣。三角矩陣A的各列是線性無關的，意味着它有唯一解，沒有n個線性無關的特征向量，比如下面這個：
先計算A的特征值：
作為2×2矩陣，A只有一個特征向量，它無法完成對角化。
使用對角化
給定一個向量u0和一個能夠對角化的矩陣A，如果uk+1=Auk，那么u100 = ?
可以簡單的向后推導一下：
現在可以得到結論，u100=A100 u0，問題是如何求得A100？
A有n個線性無關的特征向量x1,x2,……,xn，這意味着u0可以看成這些特征向量的線性組合：
以單位矩陣為例，假設A是3×3的單位矩陣，則A的三個特征向量是：
這三個特征向量可以通過線性組合成為任意的三維向量。
現在可以將Au0寫成下面的形式：
由於Ci是標量，所以可以將Ci寫到前面：
x1,x2,……,xn都是A的特征向量，它們以特征值為媒介和A存在關聯，Axi = λixi，因此：
等式兩側同時左乘A：
同樣，可以把比標量Ciλi放到前面：
無論等式兩側再左乘幾個A都將得到類似的結果，因此：
這就是最終的答案，如果真要計算A100 u0，可以先把u0展開成特征向量的線性組合，求出具體的C值，在使用SΛ100C求解。
綜合示例
a,b都是0的時候沒什么可算的，主要看ab≠0的情況。C看起來比較別扭，還是用A來說話。先來看一下特征值：
特征值矩陣和特征向量矩陣是：
當a=b=-1時：
作者：我是8位的
