消元矩陣
如果用矩陣表示一個有解的方程組，那么矩陣經過消元后，最終能變成一個上三角矩陣U。用一個三元一次方程組舉例：
A經過一些列變換，最終得到了一個上三角矩陣U：
回代到方程組后可以直接求解：
如果上面的變換去掉增廣矩陣，可以簡寫為：
矩陣的初等變換可以用矩陣乘法實現，現在的問題是，我們能否得到一個可以表示整個消元過程的矩陣E，使得E與A相乘能夠直接得到U？還是以上面的矩陣為例，第一次變換是用第二行加上第一行的-1倍，所以只需將A的左邊乘以E21就可以：
這里的矩陣E21又是怎么來的呢？這需要回歸一下消元的過程：
首先，A的第一行不變，因此我們需要拿出A的1個第一行，0個第二行，0個第三行，於是(1 ,0, 0)組成了E21的第一行；
然后，我們需要-1個A的第一行，1個第二行，0個第三行進行線性組合，所以(-1, 1, 0)組成了E21的第二行；
最后，因為A的第三行不變，因此需要0個第一行，0個第二行，1個第三行，所以E21的第三行是(0, 0, 1)。
經過變換，得到了A2，可以用E21A = A2表示。A2繼續變換：
最終，E32(E21A ) = (E32E21)A = U，E = E32E21
置換矩陣
同樣可以使用矩陣相乘來完成行交換和列交換。
首先是行交換，對矩陣進行如下變換：
對於A2的第一行，相當於從A中拿出了0個第一行，1個第二行，0個第三行；
對於A2的第二行，相當於從A中拿出了1個第一行，0個第二行，0個第三行；
對於A2的第三行，相當於從A中拿出了0個第一行，0個第二行，1個第三行。
上面的P12稱為行置換矩陣。可以看出置換矩陣是一個每行只有一個維度是1的滿秩矩陣，或者說是行重新排列了的單位矩陣，它的一個特性是 P-1 = PT
行交換與行交換類似，但是需要將左乘變為右乘。
對於A2的第一列，相當於從A中拿出了0個第一列，1個第二列，0個第三列；
對於A2的第二列，相當於從A中拿出了1個第一列，0個第二列，0個第三列；
對於A2的第三列，相當於從A中拿出了0個第一列，0個第二列，1個第三列。
C12稱為列置換矩陣。注意列置換矩陣的結果，是按照列構成的。
作者：我是8位的
