矩陣空間
矩陣空間是對向量空間的擴展，因為矩陣的本質是向量，所以與向量空間類似，也存在矩陣空間。
在向量空間中，任意兩個向量的加法和數乘仍然在該空間內。類似的，所有固定大小的矩陣也組成了矩陣空間，在空間內的任意兩個矩陣的加法和數乘也在該空間內。例如，M是所有3×3矩陣構成的空間，空間內的矩陣可以相加，也可以數乘，其結果仍然是3×3矩陣。雖然可以把它們中的兩個相乘，但是沒人會那么做，因為乘法與向量空間沒有關系。
看起來我們需要隨時注意乘法的概念，線性代數中的乘法有別於中學時代標量間的乘法。向量與一個標量相乘，被明確定義為數乘；兩個相同維度的向量間存在點積和叉乘，其寫法上都與九九乘法表中的乘法類似，但是沒有定義兩個向量的乘法。雖然矩陣間定義了乘法，但存在限制，只有滿足“攘外必先安內”原則的兩個矩陣才能相乘。線性代數中的概念眾多，學了線性代數后，再也不能愉快地做乘法了。
“攘外必先安內”：AB兩個矩陣相乘，必須滿足A的列數等於B的行數：
如果AB能夠相乘，必須滿足n = p，看起來n和p正好夾在m和q中間，m和q在外圍：
相乘的結果當然是“共同御敵，一致對外”。
以3×3矩陣構成的空間M為例，M一共有9個元素，M的維度是9。M的標准基是：
矩陣的子空間
矩陣的子空間也是對向量子空間的擴展，矩陣子空間需要滿足數乘和加法仍處於同一集合內。
矩陣空間M也有一些特殊的子空間，比如將M空間內的兩個對稱矩陣相加或數乘，仍然得到對稱矩陣；上三角矩陣子空間，將空間內的兩個矩陣相加或數乘，仍然得到上三角矩陣。仍然以3×3矩陣構成的空間M為例，看看M中的幾個子空間。
對稱矩陣子空間
設M中的對稱子空間是S，6個對稱矩陣構成了S的標准基：
S維度是6，表示為：
上三角矩陣子空間
設上三角矩陣子空間是U，U的維度也是6，它的維度表示為：
很明顯，上三角矩陣的基是：
對角矩陣子空間
如果一個矩陣既是對稱矩陣又是上三角矩陣，則這個矩陣稱為對角矩陣(diagonal matrix)。對稱矩陣是一個主對角線之外的元素皆為0的矩陣，常寫為diag（λ1, λ2,..., λn)。
主對角線上的元素可以為 0 或其他值，對角線上元素相等的對角矩陣稱為數量矩陣；對角線上元素全為1的對角矩陣就是單位矩陣。對角矩陣的運算包括和、差運算、數乘運算、同階對角陣的乘積運算，且這些運算的結果仍為對角陣。
對角矩陣A：
數量矩陣，對稱矩陣的對角元線上的元素都相等：
單位矩陣，對稱矩陣的對角元線上的元素都為1：
M3×3內的對稱矩陣和上三角矩陣的交集是一個對角矩陣，所有對角矩陣也構成一個子空間其維度是3：
很明顯，S∩U的標准基是：
S+U矩陣子空間
對於S∪U，它或者在對稱矩陣子空間S中，或者在上三角矩陣子空間U中，或者在對角矩陣子空間S∩U中。我們對S∪U不感興趣，主要是的原因是S∪U並不能構成子空間，可以隨便舉個例子：
可以看到，U1 + S1是個沒什么特點的矩陣，它不屬於S∪U，所以不符合子空間的加法封閉性。
現在，我們將S∪U擴大一點，變成S + U，也就是不單獨地取S和U中的矩陣，而是取S中的任一矩陣和U中的任一矩陣，將二者相加：
其結果是整個M空間，即：
當然，S + U的維數也是M的維數：
矩陣子空間維數的關系
現在將上面4個矩陣子空間的維數放在一起：
可以看出：
秩1矩陣
秩1矩陣就是秩為1的矩陣，它的行空間和列空間的維度都是1：
更進一步，秩1矩陣可以表示為一列乘以一行的形式：
我們之所以對秩1矩陣感興趣，是因為可以通過秩1矩陣搭建出任意矩陣，比如秩為4的矩陣，可以通過4個秩1矩陣搭建而成。
如果M是所有5×10矩陣的矩陣空間，那么一個由秩4矩陣組成的子集是否是一個子空間？
當然不是，因為兩個矩陣之和的秩不大於兩個矩陣的秩之和。設P是M中兩個任意秩4矩陣之和，P的秩可能是5，不在秩4矩陣集合內。雖然P是兩個秩4矩陣之和，rank(P) ≤4 + 4 = 8，但由於P仍然在M5×10內，而M5×10中的矩陣的秩不會大於5，所以rank(P)的最大值是5。同理，M中由秩1矩陣組成的子集也不是子空間。
秩1矩陣與零空間的關系
假設有一個向量x，x中的分量之和為0：
很明顯x滿足零空間的條件，它是某個矩陣的零空間，這個矩陣是什么呢？也就是說對於Ax = 0來說，A是什么？x的維數又是什么？
先回答最后一個，根據條件S可以確定，x的一個分量可以由另外三個分量表示：
可見x的主變量有1個，自由變量有3個，維數是3。
再看零空間所屬的矩陣，可以很容易判斷：
A是秩1矩陣，根據《線性代數14——行空間和左零空間》空間和維數的關系：Am×n的零空間是位於Rn下的 n – r維空間，A的零空間的維數3，x是3維的。
A的列空間和行空間都是1維的：
A的左零空間是零向量。
作者：我是8位的
