線性代數筆記25——馬爾可夫矩陣

A^T的特征值

　　矩陣A的特征值和A^T的特征值是一樣的。

　　求解特征值的方法是det(A-λI) = 0，根據行列式的性質，矩陣的行列式等於矩陣轉置的行列式，因此：

　　因此λ也是A^T的特征值。

馬爾可夫矩陣

　　矩陣A有2個特點：A中的所有元素都是非負的；A中的每一列之和都等於1。形如A的矩陣稱為馬爾可夫矩陣。馬爾可夫矩陣主要應用在概率領域。將一個馬爾可夫矩陣進行方冪運算仍然得到馬爾可夫矩陣。

　　當處理一個微分方程時，特征值0意味着得到了一個穩態。當進行矩陣的方冪運算時，穩態的條件包括：

1. λ₁=1是特征值之一。
2. 其他特征值的絕對值比1小，|λ_i|<1

　　給定一個向量u₀和一個能夠對角化的矩陣A，如果u_k+1=Au_k，那么：

　　當λ₁=1，其他特征值的絕對值比1小時，則u_k在k增大的過程中趨近於C₁x₁，即給出了一個穩態。x₁是A的特征向量，它的每個分量都是大於或等於0的值。

為什么一定有λ=1的特征值

　　馬爾可夫矩陣的每一列之和為1，這個性質保證了矩陣有一個λ=1的特征值。

　　回顧前面的章節，我們通過下式來計算A的特征值：

　　如果λ=1時是一個特征值，那么A-λI一定是一個奇異矩陣：

　　A減去單位向量相當於把A的每一列之和減去1，此時所有行向量相加得到0向量，這意味着一個行向量可以用另外兩個行向量表示，因此行向量是線性相關的，A-I是奇異矩陣，一定會有det(A-I)=0。

人口的流動

　　對於方程u_k+1=Au_k，A是馬爾可夫矩陣，我們用人口的流動解釋馬爾可夫矩陣。

　　u的分量分別表示兩個城市人口，A中的每一列代表人口的去留比例。第一列的0.9表示留在u_A的人口占u_A總人口的90%，剩余10%流入u_B；第二列的0.2表示從u_B流入u_A的人口占u_B的20%，剩余80%留在u_B。每一列的加和為1保證了總人口不變。如果有一個初始值：

　　表示在t=0時刻，u_A的總人口是0，是個待開辟的新城市，u_B有1000人。經過一次遷徙，在t=1時刻：

 

　　這次遷徙主要是從u_B遷入u_A，有200人進入u_A，剩余800人留在u_B。

 

　　我們希望獲得長時間遷徙后的人口分布，這需要知道A的特征值和特征向量。A是馬爾可夫矩陣，因此一個特征值是λ₁=1，通過矩陣的跡可知另一個特征值是λ₂=0.9+0.8-1=0.7。由此可以求得兩個特征向量：

　　由於兩個特征值符合方冪運算時達到穩態的條件，所以u_k在k增大的過程中趨近於C₁x₁，即最后經過多年的遷徙，兩個城市的人口趨近於定值：

　　

綜合示例

　　一個顆粒可以在A和B之中來回跳動，跳動的概率如下圖所示：

　　如果顆粒在A，下一次跳到B的概率是0.4，仍然留在A的概率是0.6；如果在B，下一次跳到A的概率是0.2，仍然留在B的概率是0.8。

　　如果顆粒最初在A，那么它一步之后，n步之后，無窮步后留在A或移動到B的概率是多少？

　　

　　首先構建模型，將上圖構造成馬爾可夫矩陣：

　　第一列表示顆粒停留在A的概率是60%，從A跳到B的概率是40%；第二列表示從B跳到A的概率是20%，停留在B的概率是80%。

　　顆粒最初在A位置，因此初始條件是：

　　第一次移動后，停留在A的概率是60%，移動到B的概率是40%：

　　第n次移動后：

　　u_n的兩個分量分別表示第n次移動后停留在A的概率和移動到B的概率。

　　無窮步后，留在A的概率是33.33%。

　　

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　　作者：我是8位的

　　出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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