這一部分我們關注正的矩陣，矩陣中的每個元素都大於零。一個重要的事實：最大的特征值是正的實數，其對應的特征向量也如是。最大的特征值控制着矩陣 \(A\) 的乘方。
假設我們用 \(A\) 連續乘以一個正的向量 \(\boldsymbol u_0=(a, 1-a)\)，
\(k\) 步后我們得到 \(A^k\boldsymbol u_0\)，這些向量 \(\boldsymbol u_1,\boldsymbol u_2, \boldsymbol u_3,\cdots\)會接近於一個穩定狀態 \(\boldsymbol u_\infty=(0.6, 0.4)\)。這個最終的結果不依賴於輸入向量：對每一個 \(\boldsymbol u_0\) 我們都收斂到相同的 \(\boldsymbol u_\infty\)。穩定狀態方程 \(A\boldsymbol u_\infty=\boldsymbol u_\infty\) 說明 \(\boldsymbol u_\infty\) 是對應於特征值為 1 的一個特征向量。
乘以矩陣 \(A\) 后的確不會改變 \(\boldsymbol u_\infty\)，但這依然不能解釋為什么所有的 \(\boldsymbol u_0\) 都會變成 \(\boldsymbol u_\infty\)。讓我們來看另外一個例子，它可能有一個穩定狀態，但卻不是總能到達。
在這種情況下，我們的起始向量為 \(\boldsymbol u_0=(0, 1)\)，然后我們得到 \(\boldsymbol u_1=(0, 2)\)，\(\boldsymbol u_2=(0, 4)\)，第二個元素每次都會加倍。用特征值的語言來說，矩陣的特征值為 \(\lambda_1=1\)，\(\lambda_2=2\)，輸入向量在不穩定特征向量方向的分量每次都乘以了 \(\lambda_2=2\)，這會導致發散。
我們討論矩陣的兩個特殊屬性來使得穩定狀態一定可以達到，這兩個屬性定義了馬爾科夫矩陣，上面的 \(A\) 就是一個例子。
馬爾科夫矩陣滿足：1. 每個元素是非負的；2. 每列元素相加等於 1。
如果 \(A\) 是馬爾科夫矩陣，那么我們立馬就有：
- 乘以一個非負向量 \(\boldsymbol u_0\) 我們仍熱得到一個非負向量 \(\boldsymbol u_1=A\boldsymbol u_0\)
- 如果向量 \(\boldsymbol u_0\) 元素相加為 1，那么 \(\boldsymbol u_1=A\boldsymbol u_0\) 的元素相加也為 1
假設丹佛市汽車出租的起始比例為 0.02，丹佛市之外的比例為 0.98。每個月，丹佛市 80% 的汽車留在本地，20% 流出，市外有 5% 的汽車流進，95% 的汽車還留在市外，那么我們有
注意到 0.065+0.935=1，所有的汽車都被統計了，總量始終為 1。
這部分涉及到矩陣的乘方，我們首先想到的就是要對矩陣進行對角化 \(A=S\Lambda S^{-1}\)，然后 \(A^k=S\Lambda^k S^{-1}\)。
上面的方程向我們展示實際發生了什么，特征值為 1 的特征向量是穩定狀態，另一個特征向量隨着迭代次數的增加逐漸消失。步數越多，我們就越接近於 \(\boldsymbol u_\infty=(0.2, 0.8)\)。在極限情況下，20% 的汽車在丹佛市 80% 的汽車在市外。
由於 \(A\) 的每一列相加等於1，所以 \(A-I\) 的每一列相加等於 0，這也就是說 \(A-I\) 的行是相關的，其行列式為零，所以 1 是 \(A\) 的一個特征值。如果有特征值大於 1，那么乘方后 \(A^k\) 元素值會增加，但 \(A^k\) 仍然是一個馬爾科夫矩陣，其元素值非負且每列和為 1，所以這不可能發生，沒有特征值絕對值大於 1。
當還有其它特征值的絕對值為 1時，我們要特別注意。
這個矩陣每次把丹佛市的汽車都送到外面，同時把外面的汽車都送進來，矩陣的乘方要么是本身要么是恆等矩陣，沒有穩定狀態。假設矩陣及其乘方的元素嚴格限制為都是正數，不允許有零出現，那么其余特征值嚴格小於 1，肯定可以達到穩定狀態。
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