線性代數的本質(6)——逆矩陣、列空間及零空間 - 碼上歡樂

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線性代數的本質(6)——逆矩陣、列空間及零空間

本文轉載自查看原文 2020-05-17 01:14 667 線性代數

我們將線性方程組轉化為一個向量方程組(注：在此主要考慮方程的個數與未知數的個數相等的情況)：

$\left\{ \begin{aligned}2x+5y+3z=-3\\ 4x+0y+8z=0\\ x+3y+0z=2 \end{aligned}\right. \Longleftrightarrow \underbrace{\begin{bmatrix} 2&5 &3\\ 4&0&8\\1&3&0 \end{bmatrix}}_{系數矩陣:A}\overbrace{\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}}^{未知變量\vec{X}}=\underbrace{\begin{bmatrix} -3\\0\\2 \end{bmatrix}}_{常數向量\vec{v}}$

對於該線性方程組 $A\vec{X}=\vec{v}$ ，我們可以通過“高斯消元”等方式來計算，同樣地可采用計算機方法來進行計算。而我們強調的是如何以“線性變換”的觀點來看“逆矩陣、列空間、秩與零空間”。

6.1 逆變換（ $\det{A} \not=0$ )

$A\vec{X}=\vec{v}$ ,意味着我們尋找一個向量，使得經過線性變換 $A$ 后與向量 $\vec{v}$ 重合。

該方程的解依賴於矩陣 $A$ 代表的線性變換：

6.1.1 什么是逆變換？

當 $\det{A} \not=0$ ，還保持原來的空間維度,意味着空間沒有擠壓，這種情況下，有且僅有一個向量使得變換后與向量 $\vec{v}$ 重合。這樣我們就可以通過逆向變換找到這個向量。

我們通過追蹤向量 $\vec{v}$ 的變化使得與向量 $\vec{X}$ 重合，向量 $\vec{v}$ 的變化我們稱為逆變換時，實際上進行了另外一個線性變換，將其記為逆矩陣 $A^{-1}$ .

逆變換的幾何意義

事實上經過這個逆變換，就使得當前的向量回到變換前最初的狀態。

感受一下逆變換中的特例：

將坐標軸逆時針旋轉90，對應的逆變換就是將坐標軸順時針旋轉90°

$\begin{bmatrix} 0&-1 \\ 1&0 \end{bmatrix}^{-1}=\underbrace{\begin{bmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{bmatrix}}_{順時針旋轉90°}$

剪切變換是向右壓縮了空間，對應的逆變換就是就是向左進行空間變換

$\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}^{-1}=\underbrace{\begin{bmatrix} 1&-1 \\ 0&1 \end{bmatrix}}_{向左剪切}$

6.1.2 用線性變換求解方程組

這種情況下，我們看一下如何求解未知向量 $\vec{X}$ ？

$A\vec{X}=\vec{v} \Longleftrightarrow A^{-1}A\vec{X}=A^{-1}\vec{v} \Longleftrightarrow \underbrace{（A^{-1}A）}_{什么都不做}\vec{X}=A^{-1}\vec{v} \Longleftrightarrow \vec{X}=A^{-1}\vec{v}$

可以看出，線性變換 $A$ 不對空間進行擠壓，

$\begin{align*} &\Longleftrightarrow \det{A}\not=0\\ &\Longleftrightarrow A^{-1} \text{逆變換是存在的 }\\ &\Longleftrightarrow 方程 A\vec{X}=\vec{v} \text{就有唯一的解} \end{align*}$

6.1.3 逆變換的性質（與恆等變換相關）

$\underbrace{A^{-1}A}_{矩陣乘法}=\underbrace{I}_{恆等變換}$ ，變換 $A$ 及變換 $A^{-1}$ 的相繼作用，相當於矩陣乘法，作用效果就相當於什么都沒有做，我們稱這樣的變換為“恆等變換”
$AI=IA=A$

6.2 逆變換不存在的情況

當 $\det{A}=0$ ,這就意味着將空間擠壓到更低維的空間，壓縮后的體積為0，這時候對應的逆變換是不存的。

(此時我們考慮二維)因為我們不能將一條直線“解壓縮”為一個平面。至少沒有一個函數可以這樣,這樣就會將一個單獨的向量變換為一整條線的向量，逆向變換就是多個向量

函數要求是“一個輸入對應一個輸出”

即使逆變換不存在，方程仍然可能存在解，假設線性變換 $A$ 將空間壓縮為一條直線，讓變換后的結果 $A\vec{X}$ 恰巧與 $\vec{v}$ 在同一條直線上，這個時候解存在，反之解不存在。

逆變換不存在，方程解的存在性

6.3 列空間

矩陣的列意味着變換后的基向量在什么位置，這些變換后基向量張成的空間就是所有可能變換的結果。我們將所有可能輸出向量 $A\vec{X}$ 的集合稱為列空間(colunm space)。換句話而言，列空間就是矩陣的列所張成的空間.

進一步講，列空間的維數稱為秩。

當變換后的結果 $\vec{v}$ 為一條直線時，也就是結果是一維的，我們就稱這個變換的秩為1.
當變換后的結果 $\vec{v}$ 為一個平面時，也就是結果是二維的，我們就稱這個變換的秩為2.

特別的，對於 $3*3$ 維矩陣，

當秩為3時，意味着列向量仍可以張成整個空間，行列式的值不為0；
秩為2，意味着線性變換對空間進行了壓縮(行列式的值為0)；
秩為1，意味着空間壓縮就比較嚴重；

由此可得，秩可以用來描述線性變換對空間的壓縮程度。

秩 $\Longleftrightarrow$ 變換后空間的維數。 $\Longleftrightarrow$ 列空間的維數。

特別地，

1）當秩取到最大值時，意味着秩與矩陣的列數相等，我們稱之為“滿秩(Full Rank)”.

2）滿秩變換，唯一能在變換后落在原點的向量一定是零向量自身。

3） 零向量一定在列空間中，因為線性變換必須保持空間原點位置保持不變；

6.4 零空間/核（Null space/Kernel）

對於非滿秩矩陣，意味着該線性變換會對空間進行壓縮到一個更低維的空間，通俗來講，就是會有一系列直線上不同方向的向量壓縮為原點。

PS：有變換將三維空間壓縮為一個平面，就有變換將這個平面可以壓縮為一個原點。

我們將變換后落在原點的向量集合，被稱為“零空間”或者“核”。變換后一些向量落在零向量上，換句話而言，零空間是就是這些向量構成的。

特別地，當 $A\vec{X}=\vec{0}$ 時，零空間給出的就是這個向量方程的所有可能的解。

6.5 總結

（1） 對於方程個數與未知數個數一致的線性方程，我們將其轉化為向量方程組 $A\vec{X}=\vec{v}$ ，求解方程組意味着我們尋找一個向量，使得經過線性變換 $A$ 后與向量 $v$ 重合。

當 $\det{A}\not= 0$ ，意味着變換對空間沒有壓縮，對應的逆變換 $A^{-1}$ 存在，我們可以求解方程組，且對應的解唯一；

逆變換意味着經過變換后向量還原為初始狀態；
恆等變換:（這個變換相當於什么也沒做，保持原始狀態） $AA^{-1}=I=A^{-1}A$

當 $\det{A} = 0$ , 意味着變換對空間存在壓縮，逆變換不存在，方程組可能無解或者有解；
當 $A\vec{X}=\vec{0}$ 時，這個向量方程的所有可能的解稱為“零空間”。

（2）矩陣的列（變換后的基向量）張成的空間稱為“列空間”；研究列空間解決了 $A\vec{X}$ 何時有解的問題；

（3）秩 $\Longleftrightarrow$ 用來描述線性變換對空間的壓縮情況 $\Longleftrightarrow$ 列向量的維數

滿秩 $\Longleftrightarrow$ 秩與矩陣的列數相等 $\Longleftrightarrow$ 矩陣的列向量線性無關；
對於滿秩而言，只有零向量經過變換之后仍然保持在原位置。
對於非滿秩而言，可以有許多向量經過變換之后壓縮在零點。

（4）將變換后落在原點的向量集合稱為“零空間”或者“核”。零空間的概念有助於我們理解所有可能解的集合是什么樣的。

5） $m*n$ （ $m \not=n,m=n$ ）維的矩陣，表示將 $n$ 維空間中的基向量映射到 $m$ 維空間中，其中 $n$ 列表示變換前基向量空間的維數； $m$ 行表示變換后基向量需要 $m$ 個獨立的坐標來描述

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