線性代數之——克拉默法則、逆矩陣和體積

本文轉載自查看原文 2018-11-27 22:53 856 數學之美

1. 克拉默法則

這部分我們通過代數方法來求解 \(Ax=b\)。

用 \(x\) 替換單位矩陣的第一列，然后再乘以 \(A\)，我們得到一個第一列為 \(b\) 的矩陣，而其余列則是從矩陣 \(A\) 中對應列直接拷貝過來的。

利用行列式的乘法法則，我們有

\[|A|(x_1)=|B_1| \]

如果我們想要求 \(x_2\)，那么將 \(x\) 放在單位矩陣的第二列即可。

\[|A|(x_2)=|B_2| \]

同理，如果 \(det A \not = 0\)，我們可以通過行列式來對 \(Ax=b\) 進行求解。

\[x_1 = \frac{det \space B_1}{det \space A} \quad x_2 = \frac{det \space B_2}{det \space A} \quad \cdots \quad x_n = \frac{det \space B_n}{det \space A} \]

其中 \(B_j\) 就是將矩陣 \(A\) 的第 \(j\) 列替換為向量 \(b\)。

2. 逆矩陣

對於 \(n=2\)，我們通過求解 \(AA^{-1}=I\) 來找到 \(A^{-1}\) 的每一列。

為了解出 \(x\)，我們需要五個行列式。

后面的四個行列式分別為 \(d，-c，-b，a\)，它們分別是矩陣的代數余子式 \(C_{11}，C_{12}，C_{21}，C_{22}\)。

對任意大小的矩陣都滿足，當右邊是單位矩陣的一列時，克拉默法則中矩陣 \(B_j\) 的行列式是一個代數余子式。

第一個行列式 \(|B_1|\) 是代數余子式 \(C_{11}\)，第二個行列式 \(|B_2|\) 是代數余子式 \(C_{12}\)，但是它位於逆矩陣的第一列，也就是 (2，1) 的位置。因此有

我們可以進行一個簡單的驗證，兩邊同時乘以 \(A\)。

左邊第一行乘以第一列可得

\[a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13} = det \space A \]

第一行乘以第二列可得

\[a_{11}C_{21}+a_{12}C_{22}+a_{13}C_{23} = 0 \]

這可以看作是我們將矩陣 \(A\) 的第一行復制到第二行得到另外一個矩陣 \(A^*\)，矩陣 \(A^*\) 有兩行元素相同，其行列式為零。另外，我們注意到矩陣 \(A\) 和 \(A^*\) 的代數余子式 \(C_{21}，C_{22}，C_{23}\) 是相同的，因此上式就是矩陣 \(A^*\) 的行列式，其值為零。

3. 體積

任何人都知道一個長方形的面積——底乘以高，而一個三角形的面積為底乘以高的一半。但是，如果我們只知道三角形三個頂點的坐標為 \((x_1, y_1)，(x_2, y_2)，(x_3, y_3)\)，這時候面積為多少呢？

三角形的面積就是 \(3×3\) 行列式的一半，如果其中一個坐標為原點的話，那么行列式就只有 \(2×2\) 了。

由於平行四邊形的面積是三角形面積的兩倍，因此從原點開始的平行四邊形是一個 \(2×2\) 的行列式。

如果我們能證明平行四邊形的面積和行列式具有一樣的性質，那么面積就等於行列式。

當 \(A = I\) 時，平行四邊形就變成了單位正方形，面積為 \(det I = 1\)。
當兩行進行交換的時候，行列式改變符號，但平行四邊形還是原來的平行四邊形，其面積的絕對值沒有改變。
當某一行乘以 \(t\) 后，面積就變為原來的 \(t\) 倍。當其中一行不變，而另一行加上 \((x_1', y_1')\) 后，新的平行四邊形的面積就為兩個平行四邊形面積的和。