線性代數的本質(2)——線性空間、張成的空間&基

2.1 線性組合

定義：向量 及 的線性組合（Linear Combination）為 。

線性組合的各種情況：

• （線性的含義）固定一個向量，讓另外一個向量自由伸縮，那么所產生向量的終點最終落在一條直線上 ;
• 讓兩個向量自由移動，這樣加和后我們就能得到所有可能的向量
• 如果兩個向量共線時，這樣所產生的的向量就會固定在一條過原點的直線上
• 如果兩個向量都是零向量，這樣始終保持在原點

2.2張成的空間

 

定義：向量 及 的的全部線性組合（Linear Combination, ）構成的向量空間稱為“張成(Span)的空間”，實際上，對於張成空間而言，就是讓 在實數空間中自由變化，刪掉張成空間中的一個向量不會影響結果。

線性組合對應的張成空間：

固定一個向量，讓另外一個向量自由伸縮，那么所產生向量的終點最終落在一條直線上， 張成的空間為直線；
讓兩個向量自由移動，這樣我們就能得到所有可能的向量， 張成的空間為整個空間
如果兩個向量都是零向量，這樣始終保持在原點， 張成的空間為原點。

（一）線性相關：

• 如果兩個向量共線時，這樣所產生的的向量就會固定在一條過原點的直線上，這樣就意味着存在一個多余的向量，刪掉其中一個向量不會影響張成的空間。當這種情況發生時，我們就成為“線性相關（Linear dependent， ），意味着向量可以用其他向量的線性組合來表示，因為該向量已經落在了線性組合張成的空間中”

（二）線性無關：

如果所有向量給張成的空間添加了新的維度，我們就稱為“線性無關（Linear independent， ）”，

2.3 基 basis

 

向量空間中的基是張成該空間中的一個線性無關的向量集合。

2.4 向量的另一種表示形式

利用基向量的線性組合表示向量

如：在二維空間中，設基向量

這個過程過程相當於對基向量進行了縮放，然后進行加和的結果。

那么，我們可以選擇不同的向量基，進而構建一個合理的坐標系。

2.5 總結

因此，這樣就建立起了線性組合、張成空間&基之間的關系：

• 線性組合全部的向量集合能夠構成張成空間；
• 線性無關的向量集合構成了空間的基。