通過直觀的動畫演示，理解線性代數的大部分核心概念 ，不是教你學習線性代數，而是幫助你更高效的學習。
序言
學校的課程對矩陣的要求比較高，但是對於潛在的幾何直觀知之甚少，但是現在我們有計算機，所以我認為更應該理解概念層面的東西。
在數值水平與幾何水平理解線性代數有着本質的區別。幾何水平的理解能讓你判斷出特定問題應該用什么樣的工具來求解、感受它們為什么有用、以及解釋最終結果。所以學習線性代數需要幾何上的直觀理解作為堅實的基礎。
本筆記的目的是線性代數數值與幾何之間給關系。
向量究竟是什么？
向量相加，可以把它看做數軸上加法的一種擴展。
線性代數中最基礎最根源組成部分就是向量。
那么向量是什么呢？
一般來說有三種不同的觀點來看待向量。分別以物理、計算機、數學的視角來看待向量。
- 物理：具有大小和方向的箭頭；
- 計算機：向量是有序的數字列表；
- 數學：結合物理和計算機兩種觀點，向量可以是任何數，只要符合加法和乘法的定義。
向量之所以要豎着寫，是為了和點坐標相區別，向量可以看成一個起始點在坐標原點的帶有方向的線段。向量的加法c=a+b可以看成一個動態運動的過程，先走到a，在以a的結尾開始走b，最終從原點到b的終點就是c。其中a也是先走再走j。i，j為基向量。向量的乘法可以理解成縮放。
線性組合、張成的空間與基
數學需要的不是天賦，而是少量的自由想象，但想象太過自由又會陷入瘋狂。
線性代數圍繞兩種基本運算，向量加法與向量數乘。
線性組合：兩個數乘向量的和；
張成的空間：v向量與w向量全部線性組合的集合；
基：向量空間的一組基是由張成該空間的一個線性無關的向量集；
當我們用數字描述向量時，它都依賴於我們正在使用的基。
矩陣與線性變換的關系
線性變換有輸入有輸出，可以理解成一個將向量作為輸入輸出的函數，該函數保持網格線平行且等距分布，並且保持原點不動。
這一性質有個重要的推論，即變換后的v(x,y)依舊是x與變換后的i之積，加上y與變換后的j之積。
關於v，i，j之間的線性組合關系是不變的。也就是說只要知道了變換后的i，j的坐標，就能夠推斷出任意向量在變換之后的位置。
一種理解“向量的函數“的方法是使用運動，如果一個變換接收一個向量並輸出一個向量，我們想象這個輸入向量移動到輸出向量的位置。接下來，要理解整個變換，我們可以想象每一個輸入向量都移動到對應輸出向量的位置。
總之線性變換是操作空間的一種手段，是對空間的擠壓伸展, 是一種使向量運動的函數。
線性變換由它對空間的基向量的作用完全決定。只需要基向量變了，整個空間也就跟着變了，基坐標線性變換后，為新的基坐標。每當看到一個矩陣時，都可以解讀為對空間的一種特定變換。
矩陣只是一種記號，它含有描述一個線性變換的信息，是變換后的(i, j)和在一起的寫法。我們完全可以把矩陣的列看成是變換后的基向量。矩陣看作線性變換，那么矩陣乘法，行列式，基變換等都會更加容易理解。
矩陣乘法與線性變換復合
矩陣乘法可以理解為特定的線性變換.
兩個矩陣相乘有着幾何意義，也就是兩個線性變換相繼作用，即一個表換之后再進行另一個變換。這個乘積要從右向左《----讀，先用右邊的作用在用左邊的作用，這起源於函數的記號，因為我們將函數寫在變量的左側。
計算“i”
計算“j”
這一方法具有普適性。
矩陣相乘時，它們的先后順序影響結果嗎？？
很明顯，影響！
但是結合律：（AB）C = A（BC），可以觀察到它們的變化順序都是C--》B--》A，所以結果自然是相同的。
行列式
行列式的絕對值表示區域面積的縮放比例。二維
行列式為零說明矩陣的列線性相關。
det(M1M2) = det(M1)*det(M2)
那出現負數怎么解釋呢？
改變了空間的定向，類似一張紙翻面。此時的絕對值仍然是表示 面積的縮放比例。
逆矩陣、列空間、零空間
逆矩陣也是一種變換，A逆乘以A等於一個什么都不做的矩陣。
不管是一條直線、 一個平面還是三維空間等，所有可能的變換結果的集合被稱為矩陣的“列空間”。
列空間就是矩陣的列張成的空間。所以更精確的 秩定義了列空間的維數。當秩達到最大，意味着秩與列數相等。稱之為“滿秩”。
對線性方程組來說,當向量v恰好為零向量時，零空間給出的就是這個向量方程所有可能的解。
點積與對偶性
注意點積的順序，看，紅色--》黃色的趨勢變換。
叉積
來，我們來看看叉積。
用線性變化的角度看待點積
基變換
每個人可以選定不同的“參考”。
特征向量與特征值
特征向量：僅有一個拉伸的作用，仍然是留在原有的張成空間內，這些特殊的向量就被稱為“特征向量”。
每一個特征向量都有一個特殊的值，稱為特征值。即衡量特征向量在變化中拉伸或者壓縮比例的因子。
有什么作用呢？
例如：這個3D立方體的旋轉軸就是特征向量。並且此時的特征值是1，不能有縮放效果。
充分理解這個公式：
我們舉一個例子：
抽象向量空間
函數實際上是另外一種意義的向量。
就很妙~~矩陣向量乘法和求導聯系了起來。
所以，數學中有許多類似向量的事物，只要你處理的對象集具有合理的數乘和相加的概念。
如果你現在是線性代數的創始人，你需要滿足這些“公理”。
到了這兒，也就明白為什么課堂是比較抽象的概念了，普適的代價是抽象。