【筆記】【線性代數的本質】9-基變換

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基變換的基本含義

選取不同的基，可以構成不同的坐標系。
而不同的坐標系可以用不同的語言描述同一個向量，變換矩陣等等。
不同坐標系間可以用基變換矩陣進行翻譯。
基變換矩陣的列空間由基向量組成。
如下圖

矩陣的基變換

設該矩陣為A，該矩陣在我們的坐標系下能使一個向量逆時針旋轉90°，那么該如何找到在Jennifer的坐標系下的對應旋轉矩陣呢？

步驟如下：

1. 設一個J坐標系下的向量K
   
   2.左乘基變換矩陣P，將K翻譯成用我們的坐標系描述的向量L。
   
   3.再次左乘A，得到我們的坐標系下L旋轉90°得到的L'。
   4.再次左乘\(P^{-1}\),得到J坐標系下K旋轉90°得到的K'。
   
   5.由此可得,\(P^{-1}AP\)即為A在J坐標系下的對應矩陣。

最終得到的矩陣

也就是A的相似矩陣。

總而言之，\(P^{-1}AP\)代表着一種視角上的變換。

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視頻地址：線性代數的本質

mark:相似矩陣-知乎