線性代數的本質(1)——向量是什么

1.什么是向量

我們分別從數學專業、計算機專業、數學專業的眼中看着三種形式的向量表示：

 

向量的三種形式

線性代數想表達的就是“上述三種形式是相互等價的，可以相互轉化”,

• 為數學分析、可視化提供了一種方式，以一種清晰明了的方式展示數據，更加形象、直觀的了解數據的形式及本質。
• 同時也為計算機提供了能夠處理的數據方式並進行運算。

1.1 向量的三種形式

A.箭頭（物理）

利用箭頭表示的向量涵蓋有兩層直觀的含義： 長度及方向，且這兩個特征不會隨着向量的移動發生變化。因此該形式的向量可以在空間中的任何一個位置。

B.有序的數字列表（計算機）

向量 有序的數字列表

列表數字的順序不能交換，

C.將上述兩種觀點結合（數學）

向量可以表示任何東西，只要保證相加、相乘是有意義的。

• 線性代數中，通常將向量的起點定為空間的原點。不同於我們提到的物理專業中以箭頭的形式表示向量，向量的起點可以是任意位置

箭頭的表示形式、列表的表現形式、點在空間中是一一對應的 ，如下圖：

1）2維向量在XY平面中的表示形式

 

 

2）3維向量在XYZ平面中的表示形式

 

向量的加法、乘法在線性代數中其中非常重要的作用，貫穿線性代數的始終。

下面介紹兩種基本的運算：

1.2 向量加法

向量加法就是對應位置的元素相加。

 

通過向量平移的方式計算：

 

向量的加法

這是在線性代數中，唯一允許向量離開原點的情形。

 

我們可以將向量相加看成一種特殊的運動形式 ：

1.3 向量乘法

在數學中，我們將向量的數乘稱為“縮放Scaling”

• 就是將向量拉長 倍（ ） 或者縮短 倍（ ） 倍。
• 就是將向量反向拉長 倍（ ） 或者反向縮短 ( )倍。

線性代數給計算機圖形程序員提供了一種語言，通過處理數字來操縱空間！