线性代数的本质(1)——向量是什么

1.什么是向量

我们分别从数学专业、计算机专业、数学专业的眼中看着三种形式的向量表示：

 

向量的三种形式

线性代数想表达的就是“上述三种形式是相互等价的，可以相互转化”,

• 为数学分析、可视化提供了一种方式，以一种清晰明了的方式展示数据，更加形象、直观的了解数据的形式及本质。
• 同时也为计算机提供了能够处理的数据方式并进行运算。

1.1 向量的三种形式

A.箭头（物理）

利用箭头表示的向量涵盖有两层直观的含义： 长度及方向，且这两个特征不会随着向量的移动发生变化。因此该形式的向量可以在空间中的任何一个位置。

B.有序的数字列表（计算机）

向量 有序的数字列表

列表数字的顺序不能交换，

C.将上述两种观点结合（数学）

向量可以表示任何东西，只要保证相加、相乘是有意义的。

• 线性代数中，通常将向量的起点定为空间的原点。不同于我们提到的物理专业中以箭头的形式表示向量，向量的起点可以是任意位置

箭头的表示形式、列表的表现形式、点在空间中是一一对应的 ，如下图：

1）2维向量在XY平面中的表示形式

 

 

2）3维向量在XYZ平面中的表示形式

 

向量的加法、乘法在线性代数中其中非常重要的作用，贯穿线性代数的始终。

下面介绍两种基本的运算：

1.2 向量加法

向量加法就是对应位置的元素相加。

 

通过向量平移的方式计算：

 

向量的加法

这是在线性代数中，唯一允许向量离开原点的情形。

 

我们可以将向量相加看成一种特殊的运动形式 ：

1.3 向量乘法

在数学中，我们将向量的数乘称为“缩放Scaling”

• 就是将向量拉长 倍（ ） 或者缩短 倍（ ） 倍。
• 就是将向量反向拉长 倍（ ） 或者反向缩短 ( )倍。

线性代数给计算机图形程序员提供了一种语言，通过处理数字来操纵空间！