最近看了B站大神的視頻，講解線性代數一些概念的本質，其中P10講到了點積，老師講了點積的本質，當時由於水平不行不理解，重看了幾遍，又自己捋了一下，並補充了一些證明，才弄明白。
在此整理備忘，沒啥數學功底，表達起來相當困難，只能做到自己能看懂的程度，僅供自己以后回憶用。
首先，我覺得有一點必須提一下，擺正我的問題，之前我看視頻的時候總在想 “為什么點積的本質是XXX”，而忘了點積其實是一個定義，是由數學家下的定義。
正確的提問方式應該是：點積被定義成這樣，本質是什么。為什么本質是這個（用易於理解的證明方式，而非數學上的證明）。
這里只說二維向量
1、二維點積的定義
恰巧
點積意味着，將一個坐標分別為x和y的二維向量，線性變換到一個一維數軸上之后的長度，正負和它們的方向有關（結合前邊的視頻理解）。
如果u向量的長度為1，即u帽，那么點積就是向量在上邊投影的長度（視頻中的一段闡述的大體意思）
2、下邊結合定義試着理解視頻中闡述那段想表達的東西
這個等式的右邊就是它的定義，分成兩個部分去理解，第一個就是加號兩側的這種表示怎么理解，第二個就是加號怎么理解。
2.1 加號兩側的這種表示怎么理解
先從簡單的解釋，先把u向量的長度設為1(下稱u帽），這樣方便理解。因為，不管其它向量的方向如何，長度如何，都可以用它所在直線上的u向量，乘以一個倍數來表示
然后我們把x的坐標設為1即i帽，y的坐標設為1，即j帽，因為所有向量都可以由它們的兩個基，各乘以倍數表示出來
上圖表明了u帽在i帽上的投影和i帽在u帽上的投影相等，因為i帽和u帽長度相等。這個長度就是u帽的x坐標值。
也就是說一個向量的x坐標X，用u帽做線性變換后，即X乘以i帽在u帽上的投影，而這個投影恰好是u帽的x坐標
即 X乘以u帽的x坐標 可以理解為X乘以i帽在u帽上的投影的長度，即u帽的x坐標，因為這和定義一致！
另外，這個表達式中點的左邊正好是i帽在u帽上的投影，而這個表達式即代表着點積的左半部分，又代表着二維向量做一維向量變換的左半部分，
所以我們可以把i帽做u帽變換，理解為i帽投影到u帽上的長度。因為這和定義一致！！這就是定義想表達的含義。
u帽長度為1的時候，變換就是投影
對於j帽，即y坐標上的情況，和上邊是一樣的，不再贅述。
2.2 加號怎么理解
換句話說，為什么一個向量在u帽上的投影長度，等於它的x坐標在u帽上的投影長度 加上 y坐標在u帽上的投影長度
即，為什么 【x投影的長度】+【y投影的長度】=【這個向量在u帽上投影的長度】
這里需要一點容易理解的幾何證明，強調一下，u帽的長度是1，如果u帽的長度不是1，那么就是投影的長度乘以一個倍數了。
其實就是證明以下內容：
證明方式如下：
圖中的EF GH IJ都和OC垂直，是平行的，因此不難看出
OA:EF = OB:GH = OC:IJ
(OA+OB)/(EF+GH)=OC/IJ
圖中的EF GH IJ都和OC垂直，是平行的，因此EFKI和GHJK都是平行四邊形
顯然EF+GH=IJ
所以OA+OB=OC
以上就是為什么有個加號