線性代數學習筆記——第二章(上)
老樣子，不放圖，本打算一章一篇筆記，但是發現這一章的筆記是真的多，可能是我太菜的緣故，光這篇筆記就花了4個小時，還有：在Typora中^^是上角標，但是博客園有的LaTeX內聯屬性不支持，導致一些很奇怪的地方。
矩陣概念
- 零矩陣：元素都是0的矩陣（有形狀），零矩陣不一定相等。
- 負矩陣：所有元素取相反數，例如：A的負矩陣為-A。
- 實矩陣：所有的元素都是實數的矩陣。
- 復矩陣：所有的元素都是復數的矩陣。
- 行矩陣：只有一行元素的矩陣。
- 列矩陣：只有一列元素的矩陣。
- 單位陣：主對角線上為1，其余元素全為0的方陣，記做：E或I。
- 同型矩陣：行數和列數對應相等。
- 行矩陣知識方陣的一個屬性。
- 矩陣相等：同型矩陣且值對應相等。
- 不是方陣沒有主對角線和次對角線。
矩陣運算
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只有同型矩陣才能相加減：對應元素相加減。
- 運算規律（均為同型矩陣）：
- A+B=B+A；
- (A+B)+C = A+(B+C);
- A+O = A;
- A+(-A) = O;
- A+B = C —> A = C-B;
- 運算規律（均為同型矩陣）：
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矩陣乘法：
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用k乘以矩陣，相當於k乘以矩陣的所有元素。
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矩陣相乘的規則：
- 前提：左矩陣列數=右矩陣行數。
- 結果矩陣：行數=左矩陣行數；列數=右矩陣列數。
- 宋氏七字口訣：中間相等，取兩頭。
- 用第一個矩陣的第一行乘第二個矩陣的第一列，對應的元素相乘再相加，放置在第一行第一列。
- 用第一個矩陣的第一行乘以第二個矩陣的第二列，對應的元素相乘再相加，放置在第一行第二列。
- 同理……
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運算法則：
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k(AB) = (kA)B+ A(kB);
- (A+B)C = AC + BC;
- (AB)C= A(BC);
- AE=A;EA=A;這里的單位矩陣E的形狀可能不同。
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不滿足的規律：
- 多數情況下：AB \(\neq\) BA;
- AB=0 \(\nrightarrow\) A=0 或者 B=0；
- AB=AC，A \(\neq\) 0 \(\nrightarrow\) B=C;
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一個矩陣可以交換，必要條件就是該矩陣和其所有交換矩陣必須都是同階方陣。
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矩陣運算的一些公式：
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A0=E
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(Ak1)k2=Ak1k2
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Ak1*Ak2=A(k1+k2)
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(AB)k
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一般情況下：(AB)k\(\neq\)AkBk
- eg: (AB)2=ABAB；A2B2=AABB;
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但是：（A\(\pm\)E)2=A2 \(\pm\) 2AE+E2
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- 矩陣轉置：AT：
- (AT)T=A
- (A+B)T=AT+BT
- (kA)T=kAT
- (AB)T=BTAT (這里注意順序須要顛倒)
特殊矩陣
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數量矩陣：主對角線元素全部相等，其余元素為零。
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對角線矩陣：主對角線上有值，其余為零。對角型矩陣可以以diag(……)的方式來寫。
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三角矩陣：上三角矩陣、下三角矩陣。
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對稱矩陣：主對角線為軸，上下元素對應相等的矩陣。
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所有的對稱矩陣基本會用到AT=A的公式。
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A、B對稱，A、B可交換
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eg：(AB)T=AB
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充分性：(AB)T= BTAT=BA=AB
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必要性：A和B可以交換，所以AB=BA，所以(AB)T=AB，所以AB是對稱矩陣。
- eg:（AAT)T=(AT)TAT=AAT，所以AAT是對稱矩陣。
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反對稱矩陣：主對角線元素全部為零，上下元素對應成相反數的矩陣。
- eg：aij =-aji，對於主對角線上的元素，移項，\(\Rightarrow\) aii =0;
- AT= - A.
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對於（反）對稱矩陣，兩個同階（反）對稱矩陣的和、差和數乘仍然是（反）對稱矩陣，但是兩個（反）對稱矩陣的乘積一般不再是（反）對稱矩陣。
逆矩陣
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不要把矩陣放到分母的位置
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方陣的行列式：
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方陣A的行列式為：|A|。
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行列式為一個數，矩陣為一個數表，因此，方陣的行列式僅僅為方陣的一個屬性。
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性質：
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|AT| = |A|
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|kA| = kn|A|
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|AB| = |A||B|，AB為同階
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例題：A為5階方陣，|A| = 3,求|-A|、||||A|A|A|A|。
1）、|-A|=(-1)5|A|=-3。
2）、||||A|A|A|A|=|||3A|A|A| = ||36A|A| = |(36)5|A|A| = |(331)A| = 3155|A|=3156。
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伴隨矩陣:
- 只有方陣才有伴隨矩陣A*，同時任何方陣都有伴隨矩陣，如果只有一個元素的矩陣，那么他的伴隨矩陣為E或者[1]。
- 伴隨矩陣是所有元素的代數余子式按列放構成的矩陣。
- 口訣：按行求，按列放。
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逆矩陣的定義：
- 設A是一個n階方陣，如果存在同階方陣B，使得AB=BA=E，那么B就叫A的逆矩陣，記作：A-1=B。(切記不可寫成\(\frac{1}{A}\))。
- 未必所有方陣都可逆，比如零矩陣。
- 可逆矩陣的方陣的逆矩陣唯一。
- AA-1=A-1A=E。
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方陣可逆的條件：
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若方陣A的行列式∣A∣≠0，該方陣叫做非奇異（非退化、滿秩）矩陣；反之，若方陣A的行列式∣A∣=0，該方陣叫做奇異（退化、降秩）矩陣。
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矩陣A可逆的充分必要條件為：∣A∣≠0。
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A-1=\(\frac{1}{|A|}\)A*（前提是上一步成立）。
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若A、B都為n階方陣，∣A∣≠0且AB=E或者BA=E，則A可逆，並且A-1=B。
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求逆矩陣常用初等變換法，很少使用伴隨矩陣法。
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矩陣方程：
- 注意提取公因子的方向；
- 矩陣不能加減一個數，需要補上單位矩陣E；
- 永遠不要把矩陣放在分母上；
- 一定先判斷行列式不等於零，矩陣才可逆，再求逆矩陣；
- 求逆矩陣時，待定法（假設法）過於復雜，不建議使用；
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逆矩陣的性質;
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若A可逆，則A-1可逆，且(A-1)-1=A;
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A、B都可逆，則AB可逆，(AB)-1=B-1A-1;
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A可逆，因此：AT也可逆，並且（A-1)T=(AT)-1;若k \(\neq\) 0，(kA)-1=\(\frac{1}{k}\)A-1;
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|A-1|=|A|-1;
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A可逆時，A*也可逆，並且(A*)-1=\(\frac{1}{|A|}\)A;
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伴隨矩陣的常用公式：
- A*A=AA*=|A|E。
- |A*|=|A|n-1。
- 因為A−1=\(\frac{1}{∣A∣}\)A∗，所以∣A∣A−1=A∗，即A∗=∣A∣A−1；
- (A*)*=|A*|(A*)-1=|A|n-1\(\frac{1}{|A|}\)A=|A|n-2A;
- ((A*)*)*=|A*|n-2A*=(|A|n-1)n-2|A|A-1=|A|n*n-3n+3A-1;