定義：設\((R,+,*)\)是個環，\(S\)是\(R\)的一個非空子集。如果\(+\)和\(*\)也是\(S\)的運算，且\((S,+,*)\)也是個環，則說\((S,+,*)\)是\((R,+,*)\)是的一個子環。在所指運算不混淆時，簡稱\(S\)是\(R\)的一個子環。
在介紹環的時候，提到的偶數環是有理數環的子環。
\((R,+,*)\)是一個環，判斷\(R\)的非空子集\(S\)是否是\(R\)的子環，一般有下面幾種方法：
方法一：
- 對任意\(a,b\in S\)，有\(a+b\in S\)；
- 對任意\(a\in S\)，有\(-a\in S\)；
- 對任意\(a,b\in S\)，有\(a*b\in S\)。
方法二：
- \((S,+)\)是\((R,+)\)的子群；
- 對任意\(a,b\in S\)，有\(a*b\in S\)。
方法三：
- 對任意\(a,b\in S\)，有\(a-b\in S\)；
- 對任意\(a,b\in S\)，有\(a*b\in S\)。
上面三個方法可行性的證明不難（前面關於群的幾篇博文有類似命題，證明思路是一樣的），這幾個方法可以用來證明下面的命題。
設\(S_a,a\in I\)都是\(R\)的子環，那么他們的交集\(\cap_{a\in I}S_a\)也是\(R\)的子環。
首先，由環以及子環的定義可知\(S_a\)非空；\(S_a\)作為子環，\(0\in S_a,a\in I\)，所以，\(0\in \cap_{a\in I}S_a\)，從而\(S\)非空。進一步的，對任意的\(a,b\in S\)，應有\(a,b\in S_\alpha,\alpha\in I\)，而\(S_\alpha\)是\(R\)的子環，從而對每個\(\alpha\in I\)都有\(a-b\in S_\alpha\)，根據\(S\)的定義，必有\(a-b\in S\)。同理，對任意的\(a,b\in S\)，應有\(a,b\in S_\alpha,\alpha\in I\)，而\(S_\alpha\)是\(R\)的子環，從而對每個\(\alpha\in I\)都有\(ab\in S_\alpha\)。綜上，\(S\)是\(R\)的子環。
上述命題的證明中，因為\(S_a\)的特殊性，\(S\)必然是非空的。現在我們對\(S_a\)做一些限制，並提出生成子環的概念。
\(R\)是個環，\(a\in R\)，做\(R\)的子環族
\(A=\{S\)是\(R\)的子環\(|a\in S\}\)
我們把子環\(\cap_{S\in A}S\)稱為\(R\)的由元素\(a\)生成的子環，記為\(<a>\)。
我們也可以用一個子集來生成一個子環：\(R\)是個環，\(T\)是\(R\)的非空子集，做\(R\)的子環族
\(A=\{S\)是\(R\)的子環\(|T\subseteq S\}\)
我們把子環\(\cap_{S\in A}S\)稱為由\(T\)生成的子環，記為\(<T>\)。