1. 陪集
現在繼續研究群的分解，先來討論一般子群之間、以及子群和父群的關系。首先根據子群的判定條件，如果\(H,K\leqslant G\)，則很容易有\(H\cap K\leqslant G\)。那么\(H\cup K\)呢?當然這里\(H,K\)都是真子群，並且不互相包含。從\(H\)中取元素\(h\not\in K\)，從\(K\)中取元素\(k\not\in H\)，則容易證明\(hk\not\in H\cup G\)，從而\(H,K\)一定不是\(G\)的子集。
如果再把\(hk\)都包含進來呢，即\(HK\)是不是\(G\)的子集？對\(h_1k_1,h_2k_2\in HK\)，如果總有有\((h_1k_1)(h_2k_2)=hk\)，容易證明該條件和\(HK=KH\)等價。所以就有下式結論，但要注意\(HK=HK\)並不表示\(hk=kh\)。這樣的分割需要子集滿足一定條件，不符合我們現在的需求，需要另找方法。
\[HK\leqslant G\quad\Leftrightarrow\quad HK=KH\tag{1}\]
現在看來，我們必須放棄將父群分解為若干個子群的想法，而只能以某個子群\(H\)為參考或划分單位。我們還希望分成的每一塊和子群一樣大，最好元素與\(H\)也有一一對應的關系。由此我們想到了考察集合\(aH\)，它表示\(a\)和\(H\)每個元素的乘積組成的集合，被稱為\(H\)的左陪集（left coset），\(a\)是左陪集的代表元。如果\(a\in H\)，顯然\(aH=H\)，現在來研究\(a\not\in H\)時，\(aH\)之間的關系。
對任意\(b\in aH\)，存在\(b=ah,(h\in H)\)，則\(bH=ahH=aH\)，也就是說以\(aH\)的中任何元素為代表元的左陪集都與\(aH\)完全重合。換句話說，所有左陪集要么完全相等，要么沒有交集，每個元素都被划分到了一個左陪集中，且都能作為該左陪集的代表元。另一方面，對\(b\in aH\)，有\(a^{-1}b=h\in H\)，容易證明\(a^{-1}b\in H\)就是\(a,b\)同屬於一個左陪集的充要條件，它是群元素之間的一個等價關系。
同樣可以定義右陪集\(Ha\)的概念，並有着和左陪集一樣的結論，只不過同屬於一個右陪集的條件要改成\(ab^{-1}\)。對於非交換群，\(aH\)與\(Ha\)一般不相等，所以左右陪集的分割是完全不同的（\(H\)本身除外，它既是左陪集，又是右陪集）。但你也許並不甘心，它們之間一定有別的方法能聯系起來。考慮到左右陪集只是左右顛倒的，你很自然就可以想到逆運算，對任何\(ah\in aH\)，都有\((ah)^{-1}=h^{-1}a^{-1}\in Ha^{-1}\)。即\(aH\)和\(Ha^{-1}\)的元素是完全互逆的關系，這樣左右陪集就找到了一一對應的關系。現在想來，左陪集\(aH\)中元素的逆被分散到了其它左陪集中，但卻神奇地集中到了右陪集\(Ha^{-1}\)里。
考慮所有左陪集\(aH\)組成的集合，它的階被稱為子集\(H\)的指數（index），記為\([G:H]\)，那么顯然有式（2）的拉格朗日定理成立。進一步地，如果\(K\leqslant H\leqslant G\)，還容易有式（3）成立（注意對無窮的討論）。並且可以直觀地看出，\(K\)的陪集其實就是在\(H\)陪集的基礎上再以\(K\)為單位進行的划分。
\[|G|=|H|[G:H]\tag{2}\]
\[[G:K]=[G:H][H:K]\tag{3}\]
現在再來看\(H\cap K\)的陪集與\(H,K\)陪集的關系，首先由剛才的結論知，\(H\cap K\)的陪集正好是\(H,K\)陪集的一個再次分割。從而\(aH\cap bK\)要么是空集，要么正好是某些\(H\cap K\)的陪集。進一步地，如果\(c=aH\cap bK\)，則\(aH\cap bK=cH\cap cK=c(H\cap K)\)，即\(aH\cap bK\)最多只包含一個\(H\cap K\)的陪集。這樣的話就容易有以下不等式。
\[[G:H\cap K]\leqslant [G:H][G:K]\tag{4}\]
最后來看子集\(HK\)，它顯然由一些\(K\)的左陪集組成。另外考慮\(H\)中\(H\cap K\)的\(m=\dfrac{|H|}{|H\cap K|}\)個左陪集，考慮\(h_1,h_2\in H\)，它們屬於同一\(H\cap K\)左陪集的充要條件是\(h_1^{-1}h_2\in H\cap K\)。而該條件顯然等價於\(h_1^{-1}h_2\in K\)，它又是\(h_1,h_2\)屬於同一\(K\)的左陪集沖要條件，故\(HK\)中\(K\)的左陪集的個數就是\(m\)。以上結論可以總結為式（5），顯然只有當\(H\cap K={e}\)時，才有\(|HK|=|H||K|\)。
\[|HK|=\dfrac{|H||K|}{|H\cap K|}\tag{5}\]
2. 同態與商群
2.1 同態定理
現在群\(G\)被分成了\(H\)的陪集，\(H\)當然有更細的划分方法，現在需要來研究它的陪集組成的集合。我們先不直接研究陪集，而是采用更一般性的方法。回顧陪集的定義，其實就是一個從群元素到陪集的映射，我們希望研究一般的代數系統之間的映射。考慮兩個系統\(\langle S,\circ\rangle ,\langle \bar{S},\star\rangle \)之間的映射\(f\)，我們當然希望運算律是保持的，滿足以下條件的映射被稱為同態映射（homomorphism）。如果映射是滿的，則稱\(S,\bar{S}\)同態，記作\(S\sim\bar{S}\)。
\[f(a\circ b)=f(a)\star f(b)\tag{6}\]
我們重點要關注的當然是同態映射像和原像的關系，即同態系統之間的關系。如果\(G\sim\bar{G}\)，其中\(G\)為一個群，容易證明\(\bar{G}\)滿足群的所有條件（作為練習），故\(\bar{G}\)也是群。當然還可以得到更多結論，比如單位元映射到單位元、逆元映射到逆元，甚至子群映射到子群，這里就不贅述了。反過來思考同態映射，它的每個像都有可能不止一個原像，\(G\)按照像的不同被划分成了不同的等價類，這些等價類有什么性質？它和\(\bar{G}\)又有什么關系？
顯然那些等價類與同態像是一一對應的，如果能定義好運算，它們自然就是同構的，現在的任務就是尋找這些等價類有意義的運算。先定義\(\bar{e}\)的原像\(f^{-1}(\bar{e})\)為核（kernel），記作\(\text{Ker}\:f\)。下面來看那些等價類是什么，對於\(\bar{x}\in\bar{G}\)，考察\(X=f^{-1}(\bar{x})\)。對任何\(a,b\in X\)，\(f(a^{-1}b)=(f(a))^{-1}f(b)=\bar{e}\)，故\(a^{-1}b\in \text{Ker}\:f\)，從而\(K=\text{Ker}\:f\)是一個子群，且每個等價類是都是它的左陪集。你還可以發現，剛才的證明對右陪集同樣成立，也就是說\(\text{Ker}\:f\)的左右陪集是一樣的！
既然陪集不分左右了，就可以為其定義\(aK\cdot bK=(ab)K\)，容易證明在該運算下，\(K\)的陪集與\(\bar{G}\)是同構的。我們需要專門研究像核這樣的子群，即對子群\(N\)，要求\(aN=Na\)恆成立。為此定義滿足下式的子群為正規子群（normal subset），記作\(N\trianglelefteq G\)，如果\(N\neq G\)，也記作\(N\triangleleft G\)。剛才的結論可以說成，同態映射的核是正規子群，那么反過來呢？其實容易證明，對任意正規子群\(N\)，映射\(f(a)=aN\)就是同態的。故我們可以下結論：任何正規子群都與一個同態映射等價。
\[\forall a\in G(aNa^{-1})\quad\Rightarrow\quad N\trianglelefteq G\tag{7}\]
因為正規子群\(N\)的陪集與同態像一一對應，它們必然組成群，定義它為商群（quotient group），記作\(G/N\)，從而有\(|G/N|=[G:N]\)。剛才的結論用符號表示就是下式，它被稱為同態基本定理。
\[G\sim G/N\cong \bar{G}\tag{8}\]
現在繼續對正規子群作一些常規討論。正規子群是\(N\)與\(G\)的關系，所以對任意\(N\leqslant H\leqslant G,N\trianglelefteq G\)，總有\(N\trianglelefteq H\)，但對\(H\trianglelefteq N\trianglelefteq G\)，卻不一定有\(H\trianglelefteq G\)。交換群的子群顯然都是正規子群。對非交換群\(G\)，\(\{e\}\)和\(G\)顯然都的正規子群，但如果除了這兩個平凡正規子群外沒有其它正規子群，那么\(G\)叫單群（single group）。反之如果其所有子群都是正規子群，它也叫哈密頓群。比較容易證明，兩個正規子群的交和積也必然是正規子群（公式（8）），但正規子群與子群的交和積卻只能是普通的子群。
\[N,K\trianglelefteq G\quad\Rightarrow\quad N\cap K\trianglelefteq G,\quad NK\trianglelefteq G\tag{8}\]
思考幾個關於正規子群的問題：
• \(A_n\)是\(S_n\)的正規子群，\(K_4\)是\(S_4\)的正規子群。如果已知\(n\neq 4\)時，\(A_n\)都是單群，則\(S_n\)的非平凡正規子群只有\(A_n\)；
• \(N,K\trianglelefteq G\)且\((|N|,|K|)=1\)，若\(G/N,G/K\)都是交換群，求證\(G\)也是交換群；
• \(N=\langle a\rangle\)是正規子群，則任何\(H\leqslant N\)也是正規子群；
同態基本定理給出了一種分析群的結構的方法，將群拆分為正規子群和商群，這里介紹著名的群的同構定理。第一同構定理其實就是同態基本定理，第三同構定理以正規子群\(N\)為單位元，得到更大正規子群的結構。將\(G\)換成\(HN\)就得到第二同構定理。
（1）第一同構定理：\(G/\text{Ker}\:f\cong f(G)\)；
（2）第二同構定理：\(N\trianglelefteq G,\:H\leqslant G\quad\Rightarrow\quad HN/N\cong H/(H\cap N)\)；
（3）第三同構定理：\(H,N\trianglelefteq G,\:N\subseteq H\quad\Rightarrow\quad G/H\cong (G/N)/(H/N)\)。
2.2 自同構群
上篇中講到了對稱群，它的組成元素是集合的一一映射，現在來看它在群上的一個特殊子群。我們考慮群的所有自同構變換組成的集合，很容易證明它們組成群，稱為自同構群（automorphism），並記作為\(\text{Aut}\:G\)。容易證明無限循環群的自同構群是\(2\)階循環群，而\(n\)階循環群的自同構群是\(\varphi(n)\)階群。如果你覺得自同構群不好構造，那你可以試試同構映射\(\sigma_a(x)\to axa^{-1}\)，所有這樣的映射構成內自同構群，記作\(\text{Inn}\:G\)。顯然正規子群在內自同構下保持不變，因此它也叫不變子群。另外容易證明，內自同構群是自同構群的正規子群（公式（9））。
\[\text{Inn}\:G\trianglelefteq\text{Aut}\:G\tag{9}\]
現在考慮從\(G\)到\(\text{Inn}\:G\)映射，它顯然是同態映射，映射的核是所有使\(axa^{-1}=x\)恆成立的\(a\)（內自同構的單位元是恆等變換）。為此我們定義與所有元素可交換的元素為中心元素，它們組成的子群叫中心（center），記作\(C(G)\)或\(C\)，中心僅有\(\{e\}\)的群叫無中心群。這樣一來，使用同構定理就有下式成立。
\[\text{Inn}\:G\cong G/C\tag{10}\]
而對於一般自同構群的研究則沒有什么顯著成果，它和原群之間並無特別的關系，這里只作簡單討論。若自同構群\(\text{Aut}\:G\)有中心，取一個非恆等自同構變換\(\tau(a)=b\neq a\)和內自同構\(\sigma_a\)，從而有\(\tau\sigma_a=\sigma_a\tau\)，進而你可以證明\(a^{-1}b\)是\(G\)的中心。從而如果\(\text{Aut}\:G\)有中心，則\(G\)也有中心。反之如果\(G\)沒有中心，則\(\text{Aut}\:G\)也沒有中心。考慮以下問題：
• 證明\(S_n\)和\(\text{Aut}\:S_n\)都是無中心群；
• 證明\(n\)階循環群的自同構群是循環群的充要條件是\(n=2,4,p^e,2p^e\)，其中\(p\)為奇素數。
2.3 可解群
商群可以將群分為兩個層次的“子群”，這樣的分割可以一直繼續下去，如果有限步后子群為\(1=\{e\}\)（公式（11）），這樣的序列被稱為正規群列，其中的商群稱為因子群。正規群列本質上是講群分成了若干個因子群，如果不做其它要求，這個群列一定是存在的。但有時希望因子群有更好的性質，以便研究群的結構，為此若群\(G\)某個正規群列的因子群可交換，我們稱\(G\)為可解群。所有交換群顯然是可解群，而對非交換群，我們需要研究其可解的條件。
\[G=G_0\triangleright G_1\triangleright\cdots \triangleright G_n=1\tag{11}\]
現在來看看\(G\)的因子群\(G/N\)可交換時，正規子群\(N\)應該滿足什么條件。\(G/N\)可交換就是說，對任何\(a,b\in G\)有\(aN\circ bN=bN\circ aN\)，由\(N\)正規容易有\(a^{-1}b^{-1}abN=N\)，從而\(a^{-1}b^{-1}ab\in N\)。記\([a,b]=a^{-1}b^{-1}ab\)，它被稱為\(a,b\)的換位子。以上結論說明\(G/N\)可交換的充要條件是，\(N\)包含了所有的換位子。反過來，考察所有換位子的生成子群\(D(G)\)，容易驗證它的每個元素其實是有限個換位子之積，並且它還是正規子群，這個群被稱為換位子群。這樣\(G/N\)可交換的充要條件便是\(D(G)\subseteq N\)，而\(D(G)\)則是滿足條件的最小正規子群。
換位子群可以繼續生成它的換位子群\(D^2(G)\)，如果這樣的序列有限，它被稱為換位群列。存在換位群列的群顯然是可解群，反之可解群的任意正規群列必然滿足\(D^k(G)\subseteq G_k\)，故換位群列存在，這就是說群可解與它存在換位群列是等價的。根據這個結論，分別考察\(G\)子群的換位子群，以及\(D(G)\)在\(G/N\)上的同態像，容易證明可解群的所有子群和商群也是可解群。
有限群上有時更關注另一種正規群列，它的每個因子群都是最基礎的單群，這樣的群列叫合成群列，顯然有限群總存在合成群列。根據單群的特點容易知道，有限單群要么是素數階循環群（交換），要么是不可解群（非交換）。這樣的話可解的單群就只能是素數階循環群，又因為可解群的商群和子群也是可解群，所以可解群的合成群列的因子群都是素數階循環群。該命題的逆命題顯然也成立，故對於有限群而言，它是可解群的充要條件是：合成群列的因子群為素數階循環群。
可解群是伽羅瓦分析多項式求根時提出的，它對於解析有限群的結構也非常重要，后面我們會看到它的具體應用。多項式求根中需要討論\(S_n,A_n\)的可解性，當\(n<5\)時有正規群列（12），故\(S_n,A_n,(n<5)\)時都是可解群。當\(n\geqslant 5\)時，首先\(S_n\)中顯然包含所有\(3\)-循環，取\(a=(i,l,j),b=(j,k,m)\)，容易驗證\([a,b]=(i,j,k)\)。這就是說任何\(3\)-循環都還在換位子群中，不存在\(D^k(S_n)=1\)，所以\(S_n\)不是可解群，從而\(A_n\)也不是可解群。
\[S_2\triangleright 1,\quad S_3\triangleright A_3\triangleright 1,\quad S_4\triangleright A_4\triangleright K_4 \triangleright 1\tag{12}\]
3. 直積
正規子群可以將群分解成兩個群，但這兩個群不在同一個層次，似乎也不是真正意義上的“分解”。我們理想的分解應當是：各部分互相獨立且順序無關的，就好比被划分到了不同的維度。為此我們先來構造一類滿足條件的群，對群\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)，考察如下集合\(G\)。在\(G\)上定義乘法\((a_1,\cdots,a_n)(b_1,\cdots,b_n)=(a_1b_1,\cdots,a_nb_n)\)，容易證明在這個乘法下，\(G\)是一個群。如果把子集\(\{(e_1,\cdots,x_k,\cdots,e_n)\}\)記做\(G_k\)，顯然\(G_k\)是與\(A_k\)同構的群。
\[G=A_1\times A_2\times\cdots\times A_n=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)\}\tag{13}\]
對於以上\(G\)的分解\(G_k\)顯然滿足我們的需求：（1）\(G_k\)都是正規子群；（2）\(G=G_1G_2\cdots G_n\)；（3）\(G_1\cdots G_{k-1}\cap G_k=\{e\}\)。更本質的它滿足我們對獨立分解的要求：各部分獨立且順序無關，用數學語言描述就是以下等價條件（證明作為習題）。滿足以上定義或以下等價條件的分解被稱為\(G\)的直積（direct product），不混淆的情況下也寫作\(G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_n\)。
（1）\(g=g_1g_2\cdots g_n\)的分解式存在且唯一，其中\(g\in G,g_k\in G_k\)；
（2）\(G_i,G_j\)中的元素相乘可交換，即\(g_ig_j=g_jg_i\)恆成立。
直積分解將群分解為完全獨立幾個子群，這就方便了進一步研究，可以進行直積分解的群一般稱為可分解群，如果分解的子群都是單群，它又叫完全可分解群。我們有兩個基本問題：什么樣的群可分解？正規子群是否都可以作為分解因子？第一個問題的回答並不容易，我們目前只能對一些簡單的情景進行判斷。比如對於循環群，可以證明無限循環群和階為素數冪的有限循環群的子群都有公共部分，故都是不可分解的。而對於階有多個素因子的循環群\(G=\langle a\rangle\)，設它的階有互素分解\(m=m_1m_2\cdots m_n\)，使用初等數論的知識可以有以下直積分解。
\[G=\langle a^{\frac{m}{m_1}}\rangle\langle a^{\frac{m}{m_2}}\rangle\cdots\langle a^{\frac{m}{m_n}}\rangle,\quad\left|\langle a^{\frac{m}{m_k}}\rangle\right|=m_k\tag{14}\]
那么是否每個正規子群都可以作為分解因子呢？這一點其實對完全可分解群是成立的。試想如果\(G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_n\)是一個完全分解，且有\(N\trianglelefteq G\)。首先有\(N\cap G_k\trianglelefteq G_k\)，而\(G_k\)是單群，故有\(N\cap G_k=G_k\)或\(N\cap G_k=\{e\}\)。這就是說\(N\)完全落在了某幾個\(G_k\)中，它必定是某些\(G_k\)的直積，所以也可作為分解因子。另外使用同態定理你還可以證明，如果\(G=N\times K\)，則\(G/N\cong K\)，這就把商積拉到了與\(N\)平行的位置。
還有一個問題值得考慮，就是可分解群中的子群是被怎樣分解的呢？如果\(G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_n\)，我們希望下式能成立，但它的成立是需要條件的。可以證明它成立的充要條件是\(|G_k|\)互質，充分性使用剛才對循環群的討論證明\(a\)分解的每個因子都是其生成群的元素，必要性則通過構造兩個\(p\)-階元（參考下一篇）之積來導出矛盾。另外，如果\(G=G_1\times G_2\)且\(G_1\leqslant H\)，則容易證明有\(H=G_1\times(G_2\cap H)\)。
\[H=(H\cap G_1)\times(H\cap G_2)\times\cdots(H\cap G_n)\tag{15}\]