抽象代數不是為了抽象而抽象，它所研究的代數系統都有着廣泛的實例原型。群論的學習中我們已經看到很多系統同時存在着兩個運算，而且它們是相互關聯的，這就迫使我們來研究這種代數系統的結構和特點。從另一方面看，運算之間的互相牽連也會導致單個運算的特殊性質，你將會在后面的討論中看到這一點。
1. 環
1.1 環和子環
具有兩個運算的系統比較多，性質也各有不同，我們必須先從中抽取出“最小”的系統才能有通用性。各種數系、多項式、矩陣的加法和乘法是最具代表性的雙運算系統，以它們為參考可以得到比較有用的系統。矩陣（線性空間）為雙運算系統提供了豐富的可能性，教材中的例子也避不開它，但你也只需知道一些基本概念就行，線性代數今后將作為專門的課題討論。
考察上面提到的常見系統，它們的加法群都是交換群，故假設新的抽象系統的一個運算也為交換群。為方便起見可直接稱其為加群，加群的單位元稱為零元素（記作\(0\)）。加群的所有表達式都可以寫為加減法，加法的“冪”可以用倍數表示。你可以證明，以下常見的變形都是成立的，今后可以直接使用。
\[a+0=a;\quad a-a=0;\quad -(-a)=a;\quad -(a+b)=-a-b;\quad -(a-b)=b-a\tag{1}\]
\[-(na)=(-n)a;\quad ma+na=(m+n)a;\quad m(na)=(mn)a;\quad n(a+b)=na+nb\tag{2}\]
以上系統的中的乘法群就比較弱了，但至少組合律是成立的，所以它是一個半群。如果我們定義的系統只有兩個孤立的運算，也大可不必做這樣的研究。研究常見的系統，可以發現乘法和加法滿足以下分配律。至此我們就可以定義新的系統了，一個運算為加法群，另一個運算為半群，且它們滿足分配率，這樣的系統稱為環（ring），一般用字母\(R\)表示，乘法可交換的環叫交換環。乘法如果有單位元，按照慣例一般記作\(1\)。
\[a(b+c)=ab+bc;\quad (a+b)c=ac+bc\tag{3}\]
如果你仔細觀察分配率，可以發現其中有同態映射的影子，這其實也是還有着各種性質的主要原因。現在來看看加法在結合了乘法后，都有哪些性質，我們以前熟悉的表達式變形還能不能成立。首先對於特殊的\(0\)元素，因為\(0a+0a=(0+0)a\)，容易有\(0a=0\)，零元素在乘法下將所有元素歸為\(0\)。再來看\((-a)b\)，因為\((-a)b+ab=(-a+a)b=0\)，故有\((-a)b=-ab\)。這些都是以前就熟悉的表達式，它們在環里都是成立的。下面是更多的常用表達式，證明比較容易。
\[0a=a0=0;\quad (-a)b=a(-b)=-ab;\quad c(a-b)=ca-cb\tag{4}\]
\[\sum{a_i}\sum{b_j}=\sum\sum{a_ib_j};\quad (ma)(nb)=(mn)(ab)\tag{5}\]
很自然地，可以定義子環，它是進一步研究環結構的基本定義。子環除了是加群的子群外，還需對乘法封閉，這些比較容易證明。和單運算系統一樣，可以定義環同構，如果兩個環\(R_1,R_2\)之間存在一一映射\(f\)，且映射保持運算（公式（6）），則稱\(R_1,R_2\)同構（\(R_1\cong R_2\)）。
\[f(a+b)=f(a)+f(b);\quad f(ab)=f(a)f(b)\tag{6}\]
環中也可以對單位元和逆進行討論，由於兩個運算的相互作用，往往會表現出有趣的性質，但證明中也需要巧妙的構造。比如考察有單位元的環\(R\)，如果元素\(a\)有至少兩個右逆元，記逆元的集合為\(\{a_k\}\)。考察集合\(\{a_ka-1+a_1\}\)，容易證明它們都是右逆元且互不相等，從而這兩個集合存在一一映射。如果集合是有限的，則存在\(a_xa-1+a_1=a_1\)，化簡后兩邊同時乘以\(a_y\)得\(a_x=a_y\)，從而所有右逆元相等。這就導致了矛盾，所以右逆元必然有無窮多個，而有限環最多只能有一個右逆元，這個結論稱為Kaplanskey定理。
• 每個元素都是冪等元\(a^2=a\)的環叫布爾環，求證\(a=-a\)且\(ab=ba\)；
• 環\(R\)有單位元，求證加法交換律可由定義的其它部分證明；（提示：分配率的不交換性）
• 求證：唯一的左（右）單位元必定是單位元；（提示：構造\(ae_l-a+e_l\)）
• 如果\(1+ab\)可逆，則\(1+ba\)也可逆；（提示：構造）
• 求證：交換環中所有滿足\(a^n=0\)的元素組成子環。
1.2 零因子
零元素在環中有着特殊的地位，它如同黑洞一般講所有元素吸入，使得環的局部呈現坍塌。反之，環的整體結構還是得靠那些能逃脫\(0\)的“引力”的元素撐起來。為此定義\(ab=0\)中的\(a,b\ne 0\)分別為環的左、右零因子，不是零因子的元素叫正則元，正則元就是我們要找的“支撐元素”。無零因子是對乘法的一個約束，它本質上是要求乘法封閉。有一類特殊的零因子滿足\(a^n=0\)，它們被稱為冪零元。
顯然有無左零因子和有無右零因子是等價的，這樣的環也稱為無零因子環，交換的無零因子環叫整環（domain）（有些教材還要求含單位元，這里不采用）。對無零因子環，若有\(ab=ac\)或\(ba=ca\)，由分配率顯然有\(b=c\)，即消去律成立。反之若左（右）消去律成立，也容易得到環無零因子，由此消去律和無零因子是兩個等價概念。
若對於無零因子環有左單位元\(e_l\)，由於\((ae_l-a)e_l=0\)，則有\(ae_l=a\)，故環有單位元，用同樣的方法可證其左逆元也是右逆元。這個例子表現了零因子的概念在建立等式上的豐富作用，善於構造巧妙的表達式，可以得到很多有用的結論。有些場景下可能不存在單位元，對\(ab=a\)不能急於消去\(a\)，而是要迂回使用消去律，這個方法經常用到。比如若無零因子環有冪等元\(x^2=x\)，不能直接消去得到\(x=e\)，而是先乘上任意元素\(ax^2=ax\)，然后再消去\(x\)證明\(x\)就是單位元。考慮以下問題：
• 若\(S\leqslant R\)，但它們的單位元不同，求證\(S\)的單位元是\(R\)的零因子；
• 含有至少\(3\)個元素的布爾環不是整環；
• 若有限環中有\(ab=1\)，則\(ba=1\)。（提示：參考Kaplanskey定理的證明）
1.3 特征
階是群的重要參數，現在來看看加法群中元素的階，如果其中有最大值\(n\)，由於加法群是交換群，用反證法可知所有元素的階都是\(n\)的因子。加法群的階在環中還有更多的性質，我們將最大的階稱為環的特征，記作\(\text{Char}\:R\)，當然特征也可以是無窮。如果乘法有單位元且階為\(n\)，則有\(na=(n1)a=0\)，故\(1\)的階即是環的特征。特征為\(p\)，且恆有\(a^p=a\)的環叫\(p\)-環，可以證明\(p\)-環都是循環環（較復雜）。
環中的乘法運算有個很有用的性質，就是倍數可以任意移動組合（公式（5）），這個特征結合無零因子可以得到很好的性質。先假設環中有一個階為\(n\)的元素\(a\)，那么根據\((na)b=a(nb)=0\)，容易知道\(b\)的階為\(n\)的因子，並進而得知環中所有元素的階都是\(n\)。再假設\(n\)不是素數，它有分解\(n=xy\)，則有\((na)a=(xa)(ya)=0\)，從而必有\(xa=0\)或\(ya=0\)，這與\(a\)的階為\(n\)矛盾。綜合以上分析可知，無零因子環元素的階要么都是無窮，要么都是某個素數\(p\)，有限無零因子環的階當然都是\(p\)。
• 若交換環的特征為\(p\)，則有\((\sum{a_k})^p=\sum{a_k^p}\)；
• 求證：\(p\)-環沒有冪零元。
2. 除環和域
2.1 除環和域
有些環在乘法上有更多的性質，有必要專門討論它們。對於那些有單位元的環，其中存在逆元的元素一般稱為單位（unit）。容易證明環中的全體單位在乘法下構成群，它被稱為單位群。對於有限環，總有\(a^m=a^n(m>n\geqslant 1)\)成立，如果\(a\)是非零因子，則有\(a^{m-n+1}=a\)。繼而對任意\(x\)有\(a^{m-n}x=x\)，即得到\(a^{m-n}\)為單位元，而\(a^{m-n-1}\)是\(a\)的逆元。總結以上就得到，有限環的非零因子是單位。
除零因子外，每個元素都是單位的環稱為除環或體（skew field），交換除環也叫域（field）。容易證明除環沒有零因子，由此可知在去除零元素之后，乘法仍然是封閉的，它們能夠形成一個群。數系是除環和域的典型代表，整數環有單位\(\{-1,1\}\)，有理數、實數、復數都是域的例子。由於域的乘法可交換，可以定義\(ab^{-1}=b^{-1}a\)為分式\(\dfrac{a}{b}\)，你可以證明一般方式的加法、乘法、除法規則在域里也是成立的。
• 若環\(R\)中的任何非零元素\(a\)，都有唯一的\(b\in R\)使得\(aba=a\)，求證\(R\)為除環。（提示：先證無零因子）
你可能有一個疑問，存不存在除環呢？乘法有單位元和逆元，卻不可交換的環存在嗎？還記得第一章里介紹的四元群嗎，由它們作為“超復數”的單位形成四元數\(\{a+bi+cj+dk\}\)，可以證明它就是非交換的除環。這是歷史上首次發現的非交換除環，由哈密爾頓（Hamilton）首先發現，因此也叫哈密爾頓四元數除環。后面的課程中，還會介紹到它作為數滿足的一般性質，這在歷史上是一個重大的發現。對於有限除環，魏德邦（Wedderbum）證明了它的必定是交換的，故必然是域。由前面的討論我們容易有，有限無零因子環必定是除環，再由魏德邦定理知它又必定是域。
Hamilton（1805 - 1865）
之前群的定義中，我們討論了一次方程有解與群的等價性。在除環里也有類似的結論，而且所需條件更弱。首先除環中一次方程（7）都有解，反之若環中滿足方程（7）其中之一有解，下面來看它是否是除環。首先要證無零因子，即對任意\(a,b\ne 0\)，證明\(ab\ne 0\)。可以構造一個含有\(ab\)而值為\(b\)（或\(a\)）的表達式，利用一次方程的有解性可有\(bc=d\)和\(ad=b\)，從而\(abc=ad=b\)，則環無零因子。接下來找單位元，設\(ax=a\)的解為\(e_r\)，利用消去律（見上面的討論）可知\(e_r\)為右單位元。再由\(ax=e_r\)知任何元素\(a\)有右逆元，從而乘法（除去零元）是一個群，該環為除環。綜合以上討論，環為除環的充要條件是一次方程（7）之一恆有解（\(a\ne 0\)）。
\[ax=b,\quad ya=b\tag{7}\]
2.2 商域
域的結構是最常見的，它的結論比較豐富，我們希望能把一個環放在域中，以便獲得更多的結論。顯然不是所有的環都可以擴展為域，它至少要滿足無零因子和可交換。自然地我們想問，是不是該先考慮無零因子的不可交換環擴展為除環，可惜這個結論已經有人舉出反例了，比較復雜，這里僅當結論。那么無零因子可交換環（整環）是不是都能擴展為域呢？這里就來討論這個問題。
要想成為域，需要補充單位元和逆元，但硬要把它們定義出來還是很困難的。回顧一下我們在實數系統介紹的擴展方法，可以用數對來定義擴展的數系，再將原數系嵌入到新數系中。添加單位元和逆元本質上需要做除法，和整數擴展為有理數的過程完全一樣，定義元素對的集合\(\{(a,b)\}(a,b\in R, a\ne 0)\)。當\(ad=bc\)時，定義相等\((a,b)=(c,d)\)，直觀上講其實就是定義了分數\(\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}\)。
相等關系下的等價類正是我們期望的系統，首先證明新系統的如下加法和乘法定義是良性的，即等價類中代表元的選取不影響結果。然后證明，新系統在這個運算定義下形成一個域，最后通過映射\(a\to \dfrac{ad}{d}\)將環嵌入到這個域中。這就證明了無零交換環總可以擴展為域，這個域也叫環的分式域或商域。
\[\dfrac{b}{a}+\dfrac{d}{c}=\dfrac{bc+ad}{ac},\quad \dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{bd}{ac}\tag{8}\]
3. 特殊環
3.1 循環環
循環群是最簡單的群，那這里先分析一下加法群是循環群的環，它稱為循環環，設加法群的生成元為\(a\)。回顧一下循環群，若它的階為無窮，它與整數群同構且同時\(-a\)也是生成元，若階為有限\(n\)，它與\(n\)的剩余類群同構，且任何與\(n\)互素的剩余類都是生成元。顯然整數集合\(Z\)和任何剩余類集合\(Z_n\)在加法和乘法定義下構成環，分別稱為整數環和模\(n\)剩余類環，下面就來分析一下循環環和它們之間的關系。
先來看循環環，它的所有元素是\(\{\cdots,-2a,-a,0,a,2a,\cdots\}\)或\(0,a,2a,\cdots,(n-1)a\)。它們在加法群下，每一個不同的階僅有一個同構的循環群，但這一點在環里卻是不成立的。現在來考慮循環環中的乘法，首先對任意兩個元素有\((ma)(na)=(na)(ma)=(mn)a^2\)，故循環環必定是交換環。其次由乘法的封閉性，一定有\(a^2=ka\)，而反過來若在一個循環群上定義乘法\((ma)(na)=(mnk)a\)，它也一定構成環。由此可知，\(k\)的任何取值都等價於一個環結構，當然你要清楚，不同的\(k\)對應的環是有可能同構的。
對於無窮階環，加法生成元只有\(\pm a\)，當\(|k|\)取不同值時，對應的環一定互不同構，而容易證明\(k\)和\(-k\)對應的環是同構的。對於\(n\)階環，\(k\)只能取\(n\)個值，而這些值對應的環還有可能是同構的。使用初等數論的一些簡單推導，容易證明可以通過選取適當的生成元，使得\(k\)為\(n\)的因子。從而\(n\)的每個因子代表了一類同構的環，同不同因子對應的環是不同構的。
這樣循環環的所有同構環就清楚了，每一個非負整數對應一個無窮環，每一個因子對應一個\(n\)階環。最后來看看整數環和剩余類環，顯然它們的生成元滿足\(k=1\)，而它們的子環滿足\(k>1\)。\(Z\)的所有子環與正整數一一對應，\(Z_n\)的所有子環與\(n\)的正因子一一對應，而它們包含了除\(k=0\)之外的所有循環環。換句話說除\(k=0\)之外，每個循環環與一個\(Z\)或\(Z_n\)的子環同構。
現在做一些常規討論，\(Z\)只有可逆元\(\pm 1\)，所有元素為非零因子，\(Z_n\)中與\(n\)互素的都是可逆元，而其它都是零因子。特別地，\(Z_p\)的每個元素可逆，故它是一個域，而且還是一個\(p\)-環。由於\(Z\)和\(Z_n\)都有單位元，單位元的階就是它們特征，所以\(Z\)的特征為無窮，而\(\text{Char}\: Z_n=n\)。
3.2 多項式環
將環向多維空間擴展，是得到更多復雜環的常用方法，擴展的形式也是多種多樣的。矩陣環可以得到非常豐富的環結構，簡單一點的還有在線性空間的簡單拓展，比如無理數環\(\{x+y\sqrt{2}\mid x,y\in\Bbb{Q}\}\)和復數環\(\{x+yi\mid x,y\in\Bbb{R}\}\)，特別地\(\{x+yi\mid x,y\in\Bbb{Z}\}\)叫做高斯整環。
線性擴展中最一般的當屬多項式，多項式一直是代數中的重要概念，它是一個基本的代數對象，現在從環的角度來分析一下多項式系統。先從最常見的一元多項式說起，它是具有以下形式的表達式，其中\(a_k\)是環\(R\)的元素，\(a_kx^k\)稱為\(k\)次項，\(a_k\)稱為\(k\)次項系數，系數非零的最高次數稱為多項式的次數。
\[f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\tag{9}\]
大家最初是在域的環境下認識多項式的，這里的限制要求重新定義對多項式的一般認識。首先多項式中的加號和\(a_kx^k\)中的“乘號”目前僅是一個記號，兩個多項式相等的充要條件是每一項的系數相等，而不是最終的值相等。現在需要重新定義運算，兩個次數相同的項\(a_kx^k,b_kx^k\)之和為\((a_k+b_k)x^k\)，而兩項\(a_ix^i,b_jx^j\)之積為\(a_ib_jx^{i+j}\)，兩個多項式相乘時按分配率展開。以上定義對域上的環是不需要定義的，但在環下必須有這樣的精確說明。
容易證明在環\(R\)上的多項式集合在以上加法和乘法定義下構成環，一般記作\(R[x]\)。顯然\(R\)是\(R[x]\)的子環，故對\(R[x]\)成立的一般對\(R\)也一定成立，但反過來的結論一般要證明。有一些比較顯然的結論，比如如果\(R\)有單位元則\(R[x]\)也有單位元，如果\(R\)可交換則\(R[x]\)也可交換，如果\(R\)為整環則\(R[x]\)也是整環。現在來看看\(R[x]\)的零因子有什么性質，假設\(f(x)g(x)=0\)，設\(g(x)\)的首項系數為\(g_n\)，則\(f(x)g_n\)的次數比\(f(x)\)小。如果再假設環可交換，則有\((g_nf(x))g(x)=0\)，用歸納法可知存在\(c\in R\)，使得\(cg(x)=0\)。總結以上討論有，交換環\(R[x]\)的元素\(g(x)\)是零因子的充要條件是，存在\(cg(x)=0\)。
整數環的分解性（算術基本定理）是初等數論的重要內容，在一般環中仍然可以進行這樣的討論，后面會給出專題。除了多項式環，還有一個重要的高斯整數，也是重要的環。多項式要擴展成域，必定引入有理分式域。