1. 因子分解
1.1 唯一分解環
環的直和分解將大環分解為小環，使得結構更加簡單。從整數的算術基本定理得到啟發，我們還可以從乘法分解的角度來研究環。要使這個定向研究得到有用的結論，還需對環作一些限制。既然我們關注是因子，乘法順序就顯得多余且礙事，所以要求環是可交換的。另外零因子的討論也是沒有意義的，故規定所有非零元素都是正則元。故我們只需討論整環中元素的乘法分解，為簡化描述，以下將忽略對零元素的討論。
和初等數論中一樣，若\(a=bc\)，稱\(b\)整除\(a\)，或\(b\)是\(a\)的因子，記作\(b\mid a\)，否則記作\(b\not\mid a\)。關於整除的常規討論都比較簡單，這里不再贅述。我們把注意力放在分解的多種可能性上，最后試圖得到類似算術基本定理的結論。在分解的過程中，可逆元總是可以隨處出現或消除，它就像整數環中的\(\pm 1\)，並不影響分解的本質。這就是為什么可逆元\(\varepsilon\)也叫單位，如果\(a=b\varepsilon\)，我們\(a,b\)稱是相伴的，相伴元在分解中可以可作是等價的。既然要考慮可逆元，就必須要求乘法存在單位元，故以下討論僅針對有單位元的整環。
對任意元素\(a\)，它的所有相伴元和單位都是\(a\)的平凡因子，其它的則是真因子。有真因子的元素叫可約元，否則叫不可約元，顯然整數環的不可約元就是素數。有了因子和不可約元的定義，我們就可以嘗試模仿算術基本定理了。通過這里的討論，你會明白算術基本定理的確不是顯而易見的，它是需要一定條件的。首先每個元素都要有有限分解，其次分解在相伴元的意義下要是唯一的，滿足這兩個條件的元素稱為可唯一分解的，所有元素滿足條件的環就叫唯一分解環。由於環的元素沒有大小的概念，無限分解是可能的，而且容易舉出有多種分解的例子。
• 討論\(\{a+b\sqrt{5}i\mid a,b\in\Bbb{Z}\}\)的單位及\(9\)在其中的分解。
現在我們的問題自然是，什么樣的環才是唯一分解環？先來看看唯一分解環的性質，對不可約元\(p\)如果有\(p\mid ab\)，則由唯一分解性容易證明，\(p\mid a\)和\(p\mid b\)至少有一個成立。現在把這個概念抽取出來，滿足以上條件的元素稱為環的素元，素元肯定是不可約元，唯一分解環中的不可約元都是素元。對於一般的環，當素元和不可約元重合時，可以由反證法得知，只能有限分解的元素是唯一分解的。從而一個環唯一分解的充要條件就是，環的元素有限分解且素元和不可約元等價。
得到唯一分解環后，可以同初等數論中一樣定義公約數。若\(c\)是\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)共同的因子，則稱\(c\)為它們的公因子。環的元素沒有大小的概念，所以不好直接定義最大公因子，回顧最大公約數的多個等價定義，找一個僅使用了整除的定義即可。如果\(d\)是\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)的公因子，且任何公因子都是\(d\)的因子，稱\(d\)為最大公因子，最大公因子為單位的元素稱為互素的。最大公因子不一定存在，但對於唯一分解環，容易得到最大公因子的存在性。
1.2 主理想環和歐式環
素元的定義一定程度上就是唯一分解本身，這個判斷條件並不能帶給我們更多有用的信息，判斷和構造唯一分解環仍然不是一件容易的事情。整數環中引入帶余除法后，可以得到最大公約數的更多性質，這些性質也能得到算術基本定理。但由於一般環中沒有大小的概念，這些性質不一定成立，但卻啟發了我們如何構造更一般的唯一分解環。這里介紹兩個重要的唯一分解環，它們的定義中都有着整數環最大公約數的影子。
整數環的任何理想都有一個最小數，這個數是理想的最大公約數，且它的所有倍數都在理想中，即該理想是其最大公約數生成的主理想。任何理想都是主理想的環被稱為主理想環。主理想環首先保證了分解的有限性，因為無限分解列的生成理想也是主理想，該主理想的生成元既是分解列的結尾。另外，設主理想環\(R\)中的不可約元\(p\mid ab\)，考察\(\langle p\rangle\)，容易證明它必是極大理想。從而商環\(R/\langle p\rangle\)為域，而\((a+\langle p\rangle)(b+\langle p\rangle)=\langle p\rangle\)，故必有\(a\in\langle p\rangle\)或\(b\in\langle p\rangle\)，即\(p\mid a\)或\(p\mid b\)。這樣就證明了，主理想環是唯一分解環。
• 求證高斯整數環是主理想環。（提示：考察絕對值最小的元素）
研究唯一分解環更直接的方法當然是在環\(R\)中定義帶余除法，為此定義一個從非零元素到正整數的映射\(\varphi\)，對環中的任何元素\(a,b\)存在\(a=bq+r\)，其中\(r=0\)或\(\varphi(r)<\varphi(b)\)。如果這樣映射存在，\(R\)被稱為歐式環。若\(N\trianglelefteq R\)且\(\varphi(a)\)在\(N\)中值最小，由定義容易證明\(N\)中的任何元素都以\(a\)為因子，從而\(N\)為主理想，進而\(R\)是唯一分解環。
• 求證高斯整數環是歐式環；（提示：在\(\Bbb{Q}[i]中逼近\)）
• 求證域上的多項式環\(F[x]\)是歐式環。（提示：考慮階）
1.3 高斯整數環
高斯整數環\(G=\Bbb{Z}[i]\)是對整數環的擴充，它的元素是所有\(z=a+bi\)形式的復數。\(\left\| z\right\|=a^2+b^2\)稱為\(z\)的范數，容易證明范數有以下性質。上面的習題已經證明了高斯整數環是唯一分解環，以此為例子，我們來簡單分析一下這個環的分解情況。首先比較容易得到，\(G\)的單位集合為\(U(G)=\{\pm 1,\pm i\}\)。接下來就是研究\(G\)的素元，為了區別起見，這里先把整數環的素數叫做有理素數。
\[\left\| z_1\right\|\cdot\left\| z_2\right\|=\left\| z_1z_2\right\|\tag{1}\]
高斯整數環是整數環的子環，故每個高斯整數首先可以按照算術基本定理分解為有理素數之積。再由分解的唯一性，素元必定是某個有理素數的因子，所以我們只需研究有理素數\(p\)的分解。\(p\)的范數為\(p^2\)，故它的因子不可能超過兩個，這就說明了\(p\)要么自身為素元，要么有兩個共軛素元\(z,\bar{z}\)，且\(\left\| z\right\|=\left\|\bar{z}\right\|=p\)。進一步地，其實就是研究不定方程\(a^2+b^2=p\)是否有解。
首先對唯一的偶素數有\(2=(1+i)(1-i)\)，所以\(2\)不是素元，它有素因子\(1\pm i\)。對\(p\)為奇數的場景，可以得到\(a^2\equiv -b^2\pmod p\)，由初等數論的知識可知，等式成立的必要條件是\(\left(\dfrac{-1}{p}\right)=1\)，即\(p\equiv 1\pmod 4\)。所以當\(p\equiv 3\pmod 4\)時，\(p\)本身就是素元。而當\(p\equiv 1\pmod 4\)時，\(a^2\equiv -1\pmod p\)有解，從而\(p\mid (a^2+1)\)，但是\(p\nmid (a\pm i)\)，所以\(p\)不是素元（注意\(a\pm i\)不一定是素元）。
2. 多項式環
2.1 根和因式
在結束環的討論之前，我們以多項式環為例來看看環理論的應用。高等代數中討論的是域上的多項式，這里我們先從一般的環開始，然后再在特殊的環中進行研究，你會得到更高的視角看待多項式。之前我們已經給出過多項式環的定義，這里進一步研究多項式的根和因式分解。
對多項式\(f(x)\in R[x]\)，考慮將\(a\in R\)帶入其表達式，得到的結果\(f(a)\)叫\(f(x)\)在\(a\)處的值，滿足\(f(a)=0\)的\(a\)稱為多項式的根或零點。這里要注意帶入的多項式必須是完全展開的，對非交換環\(R\)，若\(f(x)=g(x)h(x)\)，顯然不一定有\(f(a)=g(a)h(a)\)，當然這個等式對交換環是一定成立的。為方便討論，把\(f(x)\)的次數記作\(\text{deg}\,f\)，顯然有以下關系式。當首相系數不是零因子時，還有\(\text{deg}\,(fg)=\text{deg}\,f+\text{deg}\,g\)。
\[\text{deg}\,(f+g)\leqslant \max(\text{deg}\,f,\,\text{deg}\,g),\quad \text{deg}\,(fg)\leqslant \text{deg}\,f+\text{deg}\,g\tag{2}\]
有了這些基本概念，我們接着討論根與多項式分解的關系。對域上的多項式\(f(x),g(x)\)，高等代數中使用除法，可以得到以下公式（3），且\(q(x),r(x)\)唯一。回顧計算過程，其實對含幺環上的多項式，只需要求\(g(x)\)的首項系數是單位即可。所以這個結論對一般含幺環也可以成立，只需選擇合適的\(g(x)\)。特別地，對任意\(a\in R\)，如果取\(g(x)=x-a\)，則有\(f(x)=q(x)(x-a)+r\)。將右邊展開並將\(a\)代入兩邊，整理后（\(a^k\)與\(a\)可交換）得到\(r=f(a)\)，這就是余數定理（公式（4））。要注意這個證明中並不能直接將\(a\)代入，因為\(R\)不一定是交換環。
\[f(x)=q(x)g(x)+r(x),\: \text{deg}\,r(x)<\text{deg}\,g(x)\tag{3}\]
\[f(x)=q(x)(x-a)+f(a)\tag{4}\]
接着上面的討論，當\(a\)是\(f(x)\)的根時，可以得到\((x-a)\mid f(x)\)。反之如果\(f(x)=p(x)(x-a)\)，則有\(f(a)=(p(x)-q(x))(x-a)\)，在交換環中該式為\(0\)（非交換環中不一定成立）。這樣我們就有結論：交換含幺環中，有公式（5）的等價關系。再假設含幺環的多項式\(f(x)\)的不同零點為\(a_1,a_2,\cdots\)，則首先有\(f(x)=g_1(x)(x-a_1)\)。若為交換環，則有\(g_1(a_2)(a_2-a_1)=0\)，若還為無零因子環，則\(g_1(a_2)=0\)，故\((x-a_2)\mid g_1(x)\)。以此類推，容易知道根的個數不大於多項式的次數\(n\)，在\(n+1\)個不同的點值相同的多項式是唯一的。總結就是：含幺整環上的多項式\(f(x)\)最多有\(\text{deg}\,f\)個根。這個結論看似顯然，但每個條件都是不可或缺的，比如在四元數除環\(H\)中，\(x^2+1=0\)的根顯然不止一個。
\[f(a)=0\Leftrightarrow (x-a)\mid f(x)\tag{5}\]
• 求證：在整數環上，\((x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)-1\)不可約。（提示：反證）
以上定理給出了含幺整環上的多項式的因式分解方法，但還有兩個問題需要解決。一個就是如何找到根，目前還沒有一般性的方法，這里只介紹一種求商域根的方法。設\(F\)為整環\(D\)的商域，考察\(f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_kx^k\in D[x]\)在\(F\)中的解\(\dfrac{d}{c}\)，帶入方程並展開。如果假設\((c,d)=1\)（這就要求整環是唯一分解環），則有\(c\mid a_n\)且\(d\mid a_0\)。它可以作為方程解的篩選方法，比如求解整系數方程的有理解。
• 求多項式\(f(x)=3x^4+6x^3-21x^2-203x-4\)的有理根。
另一個問題就是如果有\((x-a)^n\mid f(x)\)，該如何判定定\(n>1\)甚至確定\(n\)的值？當\((x-a)^{n+1}\nmid f(x)\)時，\(n\)稱為根\(a\)的重數，特別地\(n>1\)時，\(a\)稱為重根，否則稱為單根。微積分中使用多項式的導數判斷重根，這個方法在環中還是可以成立的。我們把\(f'(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}ka_kx^{k-1}\)稱為\(f(x)\)的形式微商，容易驗證在含幺整環中微商的一般性質仍然成立。和微積分中一樣，\(a\)為重根的充要條件是\(f(a)=f'(a)=0\)，一直使用這個結論就還可以得到重數。另外由於域上的多項式環唯一分解，若\((f(x),f'(x))=1\)，則\(f(x),f'(x)\)沒有共同根，故\(f(x)\)沒有重根。
多項式的因式分解一般並不容易，但在常見數域中已經有一些比較有用的結論。比如由代數基本定理（復變函數中介紹）可知，復數域上的多項式都可以分解為若干個一次因式。進而容易證明，實系數多項式根的共軛也是根（共軛運算的性質），所以實數域的多項式都可以分解為若干個一次和二次因式。而對有理數域上的多項式，都可以轉化成對整數環多項式的討論。下一節中將給出求解有理根的方法，和判定多項式不可約的一個充分條件，一定程度可以幫助有理數域多項式的分解。
2.2 高斯定理
現在繼續討論多項式的因式分解，如果要考察其唯一分解性，首先當然要求系數環\(R\)是唯一分解環。分解中系數的公因子總可以先提取出來，系數公因子只有單位的多項式被稱為本原多項式，這個概念可以簡化討論。我們自然有個小問題，本原多項式的因式當然一定是本源多項式，那么反過來呢？本原多項式的積還是本原的嗎？結論是肯定的，觀察多項式乘積每一項的組成形式（參考下圖），若\(p\)是乘積展開式的公因子，如圖考察\(i+j\)次項有\(p\nmid c_{i+j}\)，矛盾。這就證明了本原多項式的乘積也是本原多項式，該結論也叫高斯引理。
多項式\(f(x)\in R[x]\)可以分解為\(d·g(x)\)，其中\(g(x)\)為本原多項式。要證\(f(x)\)的唯一分解性，只需證\(g(x)\)的唯一分解性。由於\(g(x)\)的階數有限，且其因式也是本原的，所以\(g(x)\)上的分解首先一定是有限的。現在只需討論唯一性，前面的習題中已經得到，域上的多項式環是唯一分解環，而每個整環都有其商域。為了考察唯一分解環\(R\)上多項式環\(R[x]\)，可以借助\(R\)的商域的多項式環\(F[x]\)的唯一分解性。
對\(R[x]\)中的不可約的本源多項式\(h(x)\)，在\(F[x]\)中討論其分解性，當然我們只關注階數大於\(0\)的因式。如果在\(F[x]\)中有\(h(x)=h_1(x)h_2(x)\)，總可以添加一些系數\(d\)，使得等式（6）成立，其中\(h'_k(x)\)為\(R[x]\)中的本原多項式。根據高斯引理，\(h'_1(x)h'_2(x)\)也是本原多項式，容易證明\(d,d'\)相伴，消去\(d\)即得\(h(x)\)與\(h'_1(x)h'_2(x)\)也相伴。這和\(h(x)\)不可約矛盾，故\(h(x)\)在\(F[x]\)也是不可約的。從而如果本原多項式\(g(x)\)有不同的分解方法，它們在\(F[x]\)中也是不同的分解，這與\(F[x]\)的唯一分解性矛盾，我們得到的結論就叫高斯定理。
\[dh(x)=d'h'_1(x)h'_2(x)\tag{6}\]
具體分解本原多項式\(f(x)=\sum{c_kx^k}\)並沒有一般方法，即使判斷本原多項式是否可約都是困難的，這里只介紹一個不可約的充分條件：愛森斯坦判別法（Eisenstein）。若存在素元\(p\)使得\(p\nmid c_n,p\mid c_k(0\leqslant k<n-1)\)但\(p^2\nmid c_0\)，參考高斯定理的證明方法，可判定本原多項式不可約。首先可以假定\(p\mid a_0,p\nmid b_0\)，由於\(p\nmid c_n\)，總可以找到\(p\nmid a_m\)而\(p\mid a_i(i<m)\)。考察\(c_m\)容易證\(p\nmid c_m\)，與條件矛盾，故\(f(x)\)不可約。
愛森斯坦判別法雖然不是不可約多項式的必要條件，但它對不可約本原多項式的判定非常有用，比如可以肯定任意次本原多項式都有不可約多項式\(x^n+2\)。值得一提的是，容易驗證\(f(x)\)與\(f(x+a)\)的可約性是一樣的，靈活使用這個變形有時可以構造出判別法的結構。
• 求證：\(f(x,y)=y^3+x^2y^2+x^3y+x\)在唯一分解環中不可約；
• 求證：\(x^p+px+1\)在有理數域中不可約；
• 求證：\(f(x)=x^p+x^{p-1}+\cdots+x+1\)在有理數域中不可約。
2.3 對稱多項式
多元多項式環\(R[x_1,x_2,\cdots,x_n]\)有一個特殊的子環\(\Sigma\)，其中的每個元素都非常“對稱”。准確來講就是，\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)對\((x_1,x_2,\cdots,x_n)\)的任意置換都保持不變，這樣的多項式就叫做對稱多項式。在這些多項式中，有幾個是最基礎的（公式（7）），它們被稱為基本對稱多項式。這些式子也許你並不陌生，這正是閉域上\(n\)次多項式方程的韋達定理，它給出了方程根與系數的關系（公式（8））。
\[\sigma_1=\sum{x_i},\:\sigma_2=\sum\limits_{i<j}{x_ix_j},\:\sigma_3=\sum\limits_{i<j<k}{x_ix_jx_k},\:\cdots,\:\sigma_n=x_1x_2\cdots x_n\tag{7}\]
\[(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)=x^n-\sigma_1x^{n-1}+\sigma_2x^{n-2}+\cdots+(-1)^n\sigma_n\tag{8}\]
在中學你多少都接觸過對稱多項式，我們這里介紹它們的一個漂亮結論。你可以想象，將這\(n\)個元素帶入任何一個\(n\)元多項式，得到的仍然是對稱多項式。我們的結論正是它的反命題：任何多項式\(f(x)\)都可以用這\(n\)個元素的多項式表示，即公式（9）成立，以下證明過程其實也是生成多項式的構造過程。首先一個對稱多項式可以按照項的次數分成幾個多項式之和\(f=f_0+f_1+\cdots+f_m\)，其中\(f_k\)中的每一項的次數都是\(k\)。容易證明\(f_k\)也是對稱多項式，一般稱之為齊次對稱多項式，基本多項式就是典型例子。如果我們能證明結論在齊次多項式中成立，則在一般多項式中也成立。
\[f(x)\in\Sigma\:\Leftrightarrow\: f(x)\in R[\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n]\tag{9}\]
為了便於討論，我們將\(m\)次齊次多項式\(f_m\)的項\(x_1^{d_1}x_2^{d_2}\cdots x_n^{d_n},(\sum d_k=m)\)以\(d_1d_2\cdots d_n\)進行字典排序。考慮到的\(N=\sigma_1^{t_1}\sigma_2^{t_2}\cdots\sigma_n^{t_n}\)展開后的最大項為式子（10），可以反向構造\(N\)使得其最大項與\(f_m\)的最大項\(M\)相等，兩式相減后的最大項一定小於之前的最大項。這個過程可以在有限步后結束，構造出的所有\(N\)便是生成多項式的項，對稱多項式基本定理得證。這個結論對任意環\(R\)都是成立的，由證明過程還可以知道，當\(R\)為整環時生成多項式是唯一的。
\[x_1^{t_1+t_2+\cdots+t_n}x_2^{t_2+\cdots+t_n}\cdots x_n^{t_n}\tag{10}\]
再回顧構造過程，每次選取的\(N\)的最大項的次數都是\(m\)，故滿足條件（11）。根據這個結論，我們可以使用待定系數法更快地得到某個具體的生成多項式。比如\(f_4=x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4\)，設\(f_4=a\sigma_1^4+b\sigma_1^2\sigma_2+c\sigma_1\sigma_3+d\sigma_2^2+e\sigma_4\)，取\((x_1,x_2,x_3,x_4)\)的不同值帶入，解方程組便得到生成多項式。
\[t_1+2t_2+\cdots+nt_n=m\tag{11}\]
最后來討論一下一類常用的對稱多項式，它們是元素的等冪和\(S_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k\)，我們需要知道它們和基本對稱多項式的關系。為了得到結論，以下設\(f(x)=\prod(x-i)\)，充分利用韋達定理和\(f'(x)\)的形式特點，構造次數小於\(n\)的多項式\(g(x)=f(x)(\dfrac{x_1^{k+1}}{x-x_1}+\cdots+\dfrac{x_n^{k+1}}{x-x_n})\)，可以得到式（12）。比較等式兩邊的\(n\)次項，就得到著名的牛頓公式（公式（13）(14)），這個公式可以在\(\{S_k\}\)和\(\{\sigma_k\}\)之間進行轉換。
\[x^{k+1}f'(x)-g(x)=f(x)(S_0x^k+S_1x^{k-1}+\cdots+S_k)\tag{12}\]
\[S_k-\sigma_1S_{k-1}+\sigma_2S_{k-2}+\cdots+(-1)^kk\sigma_k=0,\quad (k\leqslant n)\tag{13}\]
\[S_k-\sigma_1S_{k-1}+\sigma_2S_{k-2}+\cdots+(-1)^n\sigma_nS_{k-n}=0,\quad (k\geqslant n)\tag{14}\]