1. 代數系統
1.1 運算律
我們已經知道函數的概念，它表示集合間的一種映射關系。多數場景里，像和原像往往是同一個集合，這里就討論這樣的函數。一元函數\(f:A\mapsto A\)也被稱為集合\(A\)上的變換，其中雙射的變換也稱為置換。一般如下式的多元函數，也被稱為集合\(A\)上的\(n\)元運算。集合\(S\)以及其上的一些運算\(f_1,f_2,\cdots,f_m\)組成的系統叫代數系統（algebraic system），在不混淆的情況下也可用\(S\)表示這個代數系統。代數系統可以讓我們拋開具體運算對象，而只關注於它們共有的結構和性質。
\[f:A\times A\times\cdots\times A\mapsto A\tag{1}\]
二元運算是最常見的運算，比如各種對象（數、向量、多項式等）上的加減乘運算，以及變換的復合運算。這里就主要研究二元運算下的代數系統，參照的例子主要是來自數論和置換變換。下面的討論，在思想分析上會比較啰嗦一點，但這些正是抽象代數的根基，某些證明過程和結果反而不那么重要。希望你可以在學習時，經常合上書本，自己重新構建這些理論，體驗抽象代數的思維。
我們先把問題簡單化，研究只有一個二元運算的代數系統，那么如何研究？對於這個運算本身需要研究它形式上的特點，而對於整個代數系統還需要分析其結構特點。我們用特定的符號\(a\circ b\)來表示要研究的二元運算\(f(a,b)\)，有時也簡寫為\(ab\)，並且說成是“乘法”，這個代數系統簡單記為\(\langle S,\circ\rangle\)。如果還有另一個系統\(\langle G,\star\rangle\)，它們之間有一一映射\(f:S\mapsto G\)，並且滿足下式，則這兩個系統稱為同構的（isomorphic），記作\(S\cong G\)。顯然同構是個等價概念，同構的代數系統可以看作是完全一樣的，本質上可以不加區分。
\[f(a\circ b)=f(a)\star f(b)\tag{2}\]
從運算的形式上看，有兩種比較重要的性質是需要研究的，一個就是運算的復合，另一個就是變量的位置互換。運算的復合是指變量本身又是另一個運算的結果，比如\((a\circ b)\circ(c\circ d)\)。我們大部分研究對象的運算都滿足下式的特點，它稱為運算的結合律。結合律在數學中非常普遍，是一個非常基礎的運算律，我們就從這里開始。結合律本質上是說運算只與被操作數的序列有關，而與運算順序無關。直觀地講，一串運算，無論如何添加括號限制運算順序，結果都是一樣的。滿足結合律的代數系統稱為半群，半群的性質過於簡單，它不會有很特殊的結構，必須結合一些其它的性質才行。
\[(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)\tag{3}\]
對於很多運算，運算結果是依賴於變量的順序的，\(a\circ b\)與\(b\circ a\)不一定相等，比如置換和矩陣乘法。反之，如下條件被稱為運算的交換律。我們已經看到，交換律在很多場合是不滿足的，由此一般也不假定它成立，這一點大家要做好思維上的適應。交換律使得變量順序不再重要，它和結合律共同作用的結果就是，運算結果僅與變量有關，它們的順序可以隨意安排。
\[a\circ b=b\circ a\tag{4}\]
1.2 單位元和逆元
前面兩段討論的是運算本身的形式特點，它們還構成不了十分有趣的代數系統，現在需要對系統的結構作一些限制。所謂系統的結構，當然體現在變量與運算結果的關系。首先是不是所有元素都可以成為結果，最簡單的是對某個元素\(a\)，我們希望存在一個數\(e\)使得下式至少一個成立，並且最好這個\(e\)對所有元素都成立。基於這樣的要求，分別定義對所有元素滿足下式的元素為左（右）單位元。左（右）單位元不定都存在，但如果都存在，我們可以有\(e_l=e_r=e_l\circ e_r\)，它們是相等的！這種情況則統稱為單位元（identity）（顯然唯一），而含有單位元的半群叫幺半群。
\[e_l\circ a=a,\quad a\circ e_r=a\tag{5}\]
單位元實現了我們一個朴素的目標：任何元素都可以成為運算結果。現在我們還有一個很普遍的要求，就是式（6）的某個一元一次方程總有解。你得承認這也是個不過分的要求，因為一次方程都沒有解的話，這個系統是很難玩得轉的。如果要求\(ax=b\)有解，比較直觀的方法是要求兩邊可以“除以”\(a\)，或“乘以”\(a\)的逆\(a_l^{-1}\)，得到\(x=a_l^{-1}b\)。換句話說就是要求存在逆，分別使得式（7）成立。滿足條件的逆分別稱為左逆元和右逆元。
\[a\circ x=b,\quad y\circ a=b\tag{6}\]
\[a_l^{-1}\circ a=e,\quad a\circ a_r^{-1}=e\tag{7}\]
如果左（右）逆元同時存在，則\(a_l^{-1}=a_l^{-1}\circ(a\circ a_r^{-1})=(a_l^{-1}\circ a)\circ a_r^{-1}=a_r^{-1}\)，它們是又是相等的，這時統稱為逆元（inverse）（顯然唯一）。根據式（8）可知\(a\)同時也是\(a^{-1}\)的逆元，並且它們的運算是可以交換的。比較容易證明逆元有式子（9）的性質，這個形式大家並不陌生。
\[a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e,\quad (a^{-1})^{-1}=a\tag{8}\]
\[(a\circ b)^{-1}=b^{-1}\circ a^{-1}\tag{9}\]
逆元的存在使得“除法”成為可能，它讓系統一下子立體起來。最典型的性質就是，當\(x\)遍歷群時，\(ax\)（或\(xa\)）會遍歷整個群。因為若\(ax=ay\)，兩邊乘以\(a^{-1}\)，則有\(x=y\)。這個性質又叫消去律，如果把整個運算列成一張矩陣的表，則矩陣的每行和每列都包含整個群，且沒有重復元素。這個性質非常重要，以后你還會看到它。
2. 群
2.1 群和子群
存在逆元的幺半群叫群，我們的主角就這樣登場了。總結一下，齊集結合律、單位元和逆元這三大基本性質的代數系統就是群，一般用字母\(G,H,K\)表示。如果再滿足交換律，它就叫交換群（commutative group）（或Abel群（Abelian group））。集合的元素個數\(|G|\)稱為群的階（order），顯然有有限群和無限群。有了這三個性質，尤其是逆元的存在，群有着非常有趣的結構，后面會慢慢展開講述。
值得一提的是，單位元和逆元的條件其實是有些冗余的，在很多教材里只要求群滿足結合律、存在左單位元和左逆元（或右單位元和右逆元）。現在我們來證它們和原定義的等價性，即已知對任意\(a\)，存在\(e_l\circ a=a,a_l^{-1}\circ a=e_l\)，求證\(e_r,a_r^{-1}\)的存在性。首先記\(a'=(a_l^{-1})_l^{-1}\)，則有\(a\circ a_l^{-1}=(a'\circ a_l^{-1})\circ(a\circ a_l^{-1})=e_l\)，從而\(a\circ e_l=a\circ(a_l^{-1}\circ a)=e_l\circ a=a\)。這樣\(e_l\)同時還是右單位元，由前面的討論知它就是單位元\(e\)。那么再由剛才的\(a\circ a_l^{-1}=e_l=e\)可知\(a_l^{-1}\)還是右逆元，故有逆元\(a^{-1}\)。
還有一點需要注意，方程（6）有解和消去律中其實並沒有單位元和逆的概念，它們與逆之間是否有等價關系？其實不一定成立，但在某些情況還是等價的，請思考如下問題。
• 滿足方程（6）都有解的半群是群；（提示：證明單位元和逆存在）
• 同時滿足左右消去律的有限半群是群。（提示：利用上題結論）
群的例子非常普遍，比較顯然的有任何數系的加法、正數的乘法、矩陣的加法和乘法。再比如上面提到的變換，以及我們在《初等數論》中看到的即約剩余系的乘法，都容易證明它們是群。還有一些著名的群，它們元素個數很少，但結構卻不簡單，應用也很廣泛。比如著名的四元數群\(\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\)，它滿足下表的運算律，它們就是四元數的單位元，是比復數更一般的數系（以后可能會介紹）。
| \(1\) | \(i\) | \(j\) | \(k\) | |
| \(1\) | \(1\) | \(i\) | \(j\) | \(k\) |
| \(i\) | \(i\) | \(-1\) | \(k\) | \(-j\) |
| \(j\) | \(j\) | \(-k\) | \(-1\) | \(i\) |
| \(k\) | \(k\) | \(j\) | \(-i\) | \(-1\) |
還有就是以下Klein四元群\(K_4=\{1,i,j,k\}\)，本篇提交的所有群都是后續討論中的典型例子，你需要品味一下它們的特點，並帶入后續的討論中。
| \(1\) | \(i\) | \(j\) | \(k\) | |
| \(1\) | \(1\) | \(i\) | \(j\) | \(k\) |
| \(i\) | \(i\) | \(1\) | \(k\) | \(j\) |
| \(j\) | \(j\) | \(k\) | \(1\) | \(i\) |
| \(k\) | \(k\) | \(j\) | \(i\) | \(1\) |
說了這么多，我們還只是給群下了定義，以后的任務就是要研究它的結構，從而能得到有用的性質。結構分析最常用的方法當然就是分解，將大的復雜對象分解為一個個簡單的小對象，結構自然就清楚了。同樣道理，我們也希望將群拆解為結構更簡單的小群，這個目標將貫穿整個群論。我們自然先給這個“小群”下個定義，它首先必然是群的子集，並且在同樣的運算下能獨立成群，這樣的子集被稱為子群（subgroup）。
若\(H\)是\(G\)的子群，一般記作\(H\leqslant G\)，顯然\(\{e\}\)和\(G\)都是\(G\)的子群，它們也叫平凡子群。如果\(H\neq G\)，\(H\)叫做\(G\)的真子群（proper subgroup），記作\(H<G\)。由於子群完全繼承了父群運算，因此必定滿足結合律，並且單位元和逆元不變。唯一的要求就是要子群不殘缺，該有的元素（單位元和逆元）都要有，運算在子群中還要封閉。現在我們要把這幾個條件寫成表達式，才能給出子群的嚴格定義。對於\(G\)的一個非空子集\(H\)，如果滿足式子（10）中的條件，它就是\(G\)的子群。另外容易證明，這三個條件其實和式子（11）的條件是等價的，它一般被用作子群的判定條件。
\[H\leqslant G\quad\Leftrightarrow\quad e\in H\:\wedge\:(\forall a\in H\Rightarrow a^{-1}\in H)\:\wedge\:(\forall a,b\in H\Rightarrow ab\in H)\tag{10}\]
\[H\leqslant G\quad\Leftrightarrow\quad\forall a,b\in H\Rightarrow ab^{-1}\in H\tag{11}\]
如果子集\(M\)不滿足子群的條件怎么辦？你當然可以把需要的元素一個個補齊，最終滿足條件的子群就叫的生成子群，記作\(\langle M\rangle\)。當然，你可以給出生成子群的精確定義：包含\(M\)的最小子群。只有一個元素\(a\)生成的子群又叫循環群\(\langle a\rangle\)（cyclic group），\(a\)叫做它的生成元（generator）。顯然整數加群、有原根的即約剩余系都是循環群，並且循環群顯然是交換群。
2.2 循環群
雖然定義了子群，但分解群的任務還很重，這里我們暫且休息一下，從最簡單的循環群研究起。一個循環群中無非是這樣的元素：\(\cdots,a^{-1}a^{-1},a^{-1},e,a,aa,\cdots\)。類似數系中的冪運算，我們可以引入指數記號\(a^n\)表示循環群中的每一個元素，你可以證明它完全滿足指數的常規性質（公式（12）（13））。
\[a^0=e,\quad a^n=a^{n-1}a,\quad a^{-n}=(a^{-1})^n=(a^n)^{-1}\tag{12}\]
\[a^{m+n}=a^ma^n,\quad a^{mn}=(a^m)^n\tag{13}\]
在任何群中，如果有最小\(n>0\)的使得\(a^n=e\)，那么稱\(n\)為\(a\)的階（order），記作\(|a|\)。如果不存在這樣的\(n\)，則稱\(a\)的階為無窮大，也記作\(|a|\)。階的性質和我們在《初等數論》中討論的指數的性質完全一樣，這里就不贅述了，你有必要回頭去看看。
在循環群\(\langle a\rangle\)中，如果\(|a|=n\)，則顯然它和有原根的既約剩余系同構：\(a,a^2,\cdots,a^n\)，並且有\(\varphi(n)\)個生成元。當\(a\)的階為無窮大時，它和整數加法群同構：\(\cdots,a^{-2},a^{-1},e,a,a^2,\cdots\)，其中只有\(a,a^{-1}\)兩個生成元。下面有一些階和子群的習題，難度不大，但頗具思考價值：
• 有限子集\(H\)是子群的充要條件是：對任何\(a,b\in H\)，總有\(ab\in H\)；
• 求證：\(|a|=|a^{-1}|=|cac^{-1}|\)，\(|ab|=|ba|\)，\(|abc|=|bca|=|cab|\)；
• 求證：有限群中階數大於\(2\)的元素有偶數個；
• 如果\(H<G\)，求證\(\langle G-H\rangle=G\)。
2.3 置換群
說完了最簡單的群，現在來看最“完整”的群。前面我們看到群\(G\)中的任何元素\(a\)使得\(aG\)遍歷整個群，\(a\)和\(G\)上的一個雙射變換相對應。而容易證明，集合\(G\)上的所有雙射變換\(S(G)\)組成一個群，並且\(G\)是\(S(G)\)的子群。一般地，集合\(M\)上的所有雙射變換組成的群\(S(M)\)叫\(M\)上的對稱群（symmetric group）。當\(|G|=n\)時，又可記作\(S_n\)，叫\(n\)次對稱群。顯然每個\(n\)階群都同構於\(S_n\)的某個真子群，而階為無窮的群也同構於\(S(G)\)的某個真子群（凱萊定理）。
這樣一來，我們就可以通過討論對稱群的子群來研究一般的群。對稱群的子群叫置換群（permutation group）（因為元素是置換），\(S_n\)的子群叫\(n\)次置換群，這里我們只討論\(n\)次置換群。將集合中元素用\(1,2,\cdots,n\)編號，每個置換\(\sigma(x)\)可以表示為下式，改變列的順序並不改變定義。
\[\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}\tag{14}\]
考察置換中的映射序列：\(1,\sigma(1),\sigma(\sigma(1)),\cdots\)，容易證明這個序列最終必定會回到\(1\)，這就形成了一個環路。顯然任何置換都是由幾個不相交的環路組合而成的，有必要對它繼續進行研究。每個環路其實也可以看成是一個置換，只不過環路之外的值映射到自身而已。如果環路上共有\(k\)個元素，這樣的置換就稱為\(k\)-循環置換（或\(k\)-循環），特別地，\(2\)-循環也叫對換。循環置換可表示為下式，其中\(\sigma(a_k)=a_1,\sigma(a_i)=a_{i+1}\)，它的階顯然為\(k\)。
\[\sigma=(a_1a_2\cdots a_k)=(a_2a_3\cdots a_1)=\cdots=(a_ka_1\cdots a_{k-1})\tag{15}\]
這樣就可知，任何置換都可以唯一分解為幾個不相交循環的乘積。另外，顯然不相交循環的乘積是可交換的，故置換分解為循環后的順序是可以任意的。另外也容易有下式成立，即循環可以分解為一系列對換的乘積（不可交換），故任一置換又可以分解為一系列對換的乘積。這個地方你需要弄清置換、對換的本質是映射，而不是對數的直接操作，否則下面的公式你會覺得困惑（因為與你預期的可能相反）。
\[(a_1a_2\cdots a_k)=(a_1a_k)(a_1a_{k-1})\cdots(a_1a_2)\tag{16}\]
至此就不能再分解了，我們不禁想問，如果一個置換有不同的分解為對換的方法，那它們的對換個數有什么關系嗎？現在需要一個固定的值將它們聯系起來，這個值只能從置換\(\sigma\)本身下手。對於數對\(i<j\)，如果\(\sigma(i)>\sigma(j)\)，則稱\(i,j\)為一個反序。總反序數是固定的，定義有奇數個反序的置換為奇置換，否則叫偶置換。你可以證明，任何對換與置換相乘后都會改變它的奇偶性。而由上面的分解可知，任何置換都是由恆等變換與一系列對換相乘得來，這樣不同分解的對換個數的奇偶性也就必然相等。
奇偶性是置換的一個符號性質，它們相乘后的奇偶性變化與正負符號是一樣的。以某個奇置換為乘積的值，可以將偶置換與奇置換一一配對，這樣它們就各占一半。另外容易看出，所有偶置換的運算是封閉的，故它們能組成一個群，這個群叫做\(n\)次交錯群（alternating group），記作\(A_n\)。考慮以下問題：
• 求證\(\sigma\tau{\sigma}^{-1}=\begin{pmatrix}\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\\\sigma(\tau(1))&\sigma(\tau(2))&\cdots&\sigma(\tau(n))\end{pmatrix}\)；
• 求證\(\{(12),(13),\cdots(1n)\}\)和\(\{(12),(12\cdots n)\}\)都是\(S_n\)的生成系。