之前兩篇是群的基本概念，我們對群的結構了解得還很少。進一步的研究需要深入其本質，找到群最關鍵的特點。群的核心其實就是它的變換規律，要想看得更多，就必須回歸到變換的特點上來。由此要把群放在更生動的場景下，才能體現其本性。這個思路是群論思想的精髓，后面我們還會回來繼續研究，而這里只擷取比較簡單的一種手段作為預熱，並以其在有限群下應用來體會這種方法的強大。
1. 類方程
1.1 群的作用
前面提到過，\(gG\)將\(G\)中的元素作了一個變換，同樣\(g(aH)\)也是對陪集的一個變換。看來我們有必要將這樣的變換提出來單獨研究，變換是從一個群\(G\)作用到一個集合\(X\)，結果還是在\(X\)中。用函數的方法表示這個變換：\(g(x)\)，其中\(g\in G\)，\(x,g(x)\in X\)。為了能用到群的性質，首先自然是是要求下式左成立（保持運算），其次還要求逆元能將元素還原，即\(g^{-1}(g(x))=x\)，故還要求下式右成立。這樣的變換一般叫\(G\)在\(X\)上的作用（action）。
\[g_1g_2(x)=g_1(g_2(x)),\quad e(x)=x\tag{1}\]
作用的結果可以寫成一張表，行為\(G\)列為\(X\)，從兩個維度分別考察會得到有趣的結果。變換中最重要一類就是\(g(x)=x\)的情況，其中\(g\)稱為\(x\)的穩定子（stabilizer），\(x\)所有的穩定子記作\(S_x\)，容易證明它是一個子群。\(x\)稱為\(g\)的不動元素（fixed element），\(g\)的所有不動元記作\(F_g\)。對所有\(g\)都不動的也叫\(G\)的不動元素，記為\(F_G\)，它在研究問題時非常重要。接下來，分別從行、列兩個方向研究這張表。
先從\(G\)的方向考察\(g(x)\)，即對於指定的\(x\)，\(g(x)\)的取值情況。\(g(x)\)的所有取值稱為\(x\)軌道（orbit），記作\(O_x\)。如果\(g(x)=y\in O_x\)，則有\(g^{-1}(y)=x\in O_y\)。故不同的\(O_x\)之間要么完全相同，要么沒有交集，其中的元素是一個等價關系。軌道中只有一個元素的，便是\(G\)的不動元。
一個自然的問題是，\(O_x\)中究竟有多少元素？若\(g_1,g_2\)使得\(g_1(x)=g_2(x)\)，則有\(g_1^{-1}g_2(x)=x\)，從而\(g_1,g_2\)同屬於\(S_x\)的一個陪集。這就是說\(O_x\)中不同元素的個數為\([G:S_x]\)。如果為所有軌道選一個代表\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，則有以下類方程。
\[|X|=[G:S_{x_1}]+[G:S_{x_2}]+\cdots+[G:S_{x_n}]\tag{2}\]
另外，同屬於一個軌道的穩定子有什么關系呢？假設\(g(x)=y\)，將\(x=g^{-1}(y)\)帶入\(a(x)=x\)，則有\(gag^{-1}(y)=y\)，所以就得到\(gS_xg^{-1}=S_y\)。這個性質讓我們想到正規子群，即對任意\(N\trianglelefteq G\)，可有\(N\cap S_x=N\cap S_y\)。從而\(G\)作用下的一個軌道在\(N\)下有相同的穩定子，即那個軌道在\(N\)下被分成同樣長的多個軌道。特別地，如果\(G\)下只有一個軌道，則\(N\)的每個軌道一樣長。
最后再從\(X\)的方向考察\(g(x)\)，即對於指定的\(g\)，\(g(x)\)的取值情況。首先若\(g(x)=g(y)\)，則\(g^{-1}(g(x))=g^{-1}(g(y))\)，即有\(x=y\)，\(g\)的作用是\(X\)上的一個置換。現在分別從行、列兩個方向統計滿足\(g(x)=x\)都有元素對\((g,x)\)，有\(\sum_{g\in G}|F_g|=\sum_{x\in X}|S_x|=\sum_{k=1}^{n}|O_{x_k}||S_{x_k}|=n|G|\)，整理便得到以下等式，它稱為伯恩賽德（Burnside）定理，在組合數學中有廣泛的應用。
\[n=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|F_g|\tag{3}\]
1.2 共軛
不管是正規子群，還是上面的群的作用，其中都出現了\(gSg^{-1}\)的身影。現在就讓我們來對它進一步研究，令\(X\)是群\(G\)的所有子集的集合，考察群\(G\)在\(X\)上的變換\(g(S)=gSg^{-1}\)。滿足\(gS_1g^{-1}=S_2\)的子集\(S_1,S_2\)稱為共軛的（conjugat），這個變換顯然是一個作用，現在直接把上段的結論應用到這里來。
首先互為共軛的子集在同一軌道里，這個軌道一般叫做共軛類，共軛類中的元素互為共軛。子集\(S\)的穩定子滿足\(gSg^{-1}=S\)，它也稱為\(S\)的正規化子，記作\(N(S)\)，它是一個子群。這樣一來，共軛類的中的元素和\(N(S)\)的陪集一一對應，每個共軛類中有\([G:N(S)]\)個元素。進一步地，共軛類中每個元素的正規化子有以下關系，它們也形成一個共軛類。
\[N(gSg^{-1})=gN(S)g^{-1}\tag{4}\]
現在來考慮一些特殊情況。首先，以上\(X\)中可以只取那些只有一個元素的子集，這個情況等價於\(X=G\)，這就相當於定義了群元素間的共軛關系。群的元素在共軛的作用下分成了多個等價類，而不動元素\(F_G\)顯然就是中心\(C\)。如果中心元有\(c\)個，其它等價類\(C_k\)分別有\(c_k\)個元素（\(k=1,2,\cdots,m\)），則類方程變成以下形式。
\[G=C\cup C_1\cup C_2\cup\cdots\cup C_m,\quad |G|=c+c_1+c_2+\cdots+c_m\tag{5}\]
其次，還可以把\(X\)中的元素限定為子群，這就定義了共軛子群。共軛子群具有共軛子集一樣的性質，只是在子集和其正規化子的關系上有本質不同。對一般子集，不一定有\(S\subseteq N(S)\)，而對於子群\(H\)不僅有\(H\subseteq N(H)\)，還有\(H\trianglelefteq N(H)\)。從另一個角度看，\(N(H)\)其實是通過縮小\(G\)來使\(H\)成為正規子群，\(N(H)\)是\(G\)中使\(H\)稱為正規子群的最大子群。反過來能否通過縮小\(H\)來得到一個正規子群呢？考察\(H\)的所有共軛子群之交\(K=\cap H_k\)，可以證明\(aH_ka^{-1}\)任然包含所有\(H\)的共軛子群，從而恆有\(aKa^{-1}=K\)，即\(K\)為正規子群。特別的，如果\(H\)的指數有限，則\(K\)的指數也有限。
相對於單個元素的正規化子，子集的正規化子其實是被弱化的。正規化子\(N(x)\)是所有滿足\(axa^{-1}=x\)的元素，即所有與\(x\)可交換的元素。為此可以定義與子集\(S\)所有元素可交換的集合，稱它為\(S\)的中心化子，並記做\(C(S)\)。容易證明它也是子群，並且有下式成立。而對單個元素顯然有：\(C(x)=N(x)\)。
\[C(S)\trianglelefteq N(S)\tag{6}\]
思考兩個簡單的問題（亦可作為結論）：
• 求證：\(\langle a\rangle\trianglelefteq N(a)\leqslant N(\langle a\rangle)\)；
• 求證：\(C(S)\)是\(S\)各元素正規化子的交。
關於交錯群\(A_n\)有一個重要的結論，現在我們可以來介紹它了：當\(n\neq 4\)時，\(A_n\)都是單群。對\(n<4\)的場景可以直接驗證，你還可以證明（最好使用下段結論）\(A_4\)有唯一正規子群\(K_4\)。當\(n>4\)時，證明比較繁雜，但方法很基礎，作為習題比較好，這里僅給出基本思路。首先容易證明任何偶置換都可以表示為若干\(3\)-循環之積，並且\(A_n\)可以由一些\(3\)-循環生成。其次證明\(A_n\)對\(3\)-循環集\(X\)的作用只有一個軌道，所以\(A_n\)中包含一個\(3\)-循環的正規子群只能是\(A_n\)自身。最后通過分情況討論，證明\(A_n\)的正規子群必含有一個\(3\)-循環，這就證明了\(A_n,(n>4)\)是單群。
1.3 重陪集
元素\(g\)與左陪集\(xK\)可以定義作用\(g(xK)=gxK\)，現在就來看看這個作用有什么結論。記\(X\)為子群\(K\)的所有左陪集，考察子群\(H\)到\(X\)的作用（選\(G\)得不到有用結論）。作用的軌道是一些左陪集，它們的並可以寫成\(HxK\)，它也稱為重陪集。重陪集可以既可以看成是一些\(K\)的左陪集之並，也可以看成是一些\(H\)的右陪集之並。根據軌道的性質可知，重陪集之間要么完全相同，要么沒有交集。
作用的穩定子滿足\(hxK=xK\)，從而\(x^{-1}hx\in K\)，即\(h\in xKx^{-1}\)。穩定子的集合為\(H\cap xKx^{-1}\)，從而軌道內元素的個數是\([H:H\cap xKx^{-1}]\)。結合重陪集的意義和群的作用，就得到\(HxK\)里\(H\)的右陪集個數\(n_{Hx}\)和\(K\)的左陪集個數\(n_{xK}\)分別為以下公式。
\[n_{Hx}=[K:K\cap x^{-1}Hx],\quad n_{xK}=[H:H\cap xKx^{-1}]\tag{7}\]
再來看看穩定元素\(F_H\)，它們對一切\(h\)滿足\(hxK=xK\)，這就得到\(xKx^{-1}=H\)，它要求\(K,H\)首先是共軛的。當\(H=K\)時，可知\(x\in N(H)\)，即\(F_H\)為\(N(H)\)中\(H\)的所有陪集，個數為\([N(H):H]\)。
2. 有限群
2.1 p-群和p階群
對群的所有研究都是為了分析其結構，目前除了循環群之外，還沒有其它群被完全解析。在儲備了一些知識后，我們開始着眼於有限群和交換群這兩種常見且重要的群。相對於無限群的無窮變換，有限群的結構總也是有窮的，在這里也許可以得到一些有用的結論。我們當然是從群的階出發，逐步尋找規律。首先對於素數階群，顯然必定是循環群，且除\(e\)外每個元素都是生成元。對於素數冪次\(p^s\)階群，它每個子群的階都是\(p\)的冪，反之也是成立的，這樣的群有時也叫\(p\)-群。
拉個朗日定理說到，子群的階必為父群的因子，那么反過來呢？對任意階為\(pm\)的群\(G\)，它有\(p\)階子群嗎？這個問題的答案是肯定的，現在用歸納法證明該重要結論。當\(m=1\)時結論顯然，現在假設結論對\(pk,k<m\)成立。任意找一個非平凡子群\(H\)，如果\(p\mid|H|\)，則由假設知存在\(p\)階子群。如果總有\(p\nmid|H|\)，考察類方程（5），有\(p\mid c_k\)，從而中心的階滿足\(p\mid c\)。而中心為正規子群，它的商群\(G/N\)必有\(p\)階子群\(bH\)，則必定有\(p\mid |b|\)，所以\(\langle b\rangle\)中有\(p\)階元。綜合以上就得到了結論：階為\(pm\)的群必有有\(p\)階子群，該結論也叫柯西定理。
這個結論非常有用，比如由此可以判斷\(pq\)階交換群必有\(p,q\)階子群\(\langle a\rangle,\langle b\rangle\)，而\(\langle ab\rangle\)的階為\(pq\)，所以它必定是循環群。思考下面的習題：
• 求證\(p\)-群有中心；
• 求證\(p^2\)階群是循環群，另外僅有一個\(p\)階子群的\(p\)-群也是循環群；
• 同構意義下，\(4\)階群只有循環群和\(K_4\)。
2.2 西羅定理
繼續剛才的問題，如果\(G\)的階為\(p^sm,(p\nmid m)\)，它是否有\(p^k,(k\leqslant s)\)階子群呢？當\(k=0,1\)時結論顯然成立，假設有\(p^k,(k<s)\)階子群\(H\)，考察式（8）的重陪集分解。左側有\(p\mid [G:H]\)，右側那些重陪集除了\(F_H\)外都有\(p\mid [Hx_iH:H]\)，從而\(p\mid |F_H|=[N(H):H]\)。所以有\(p\mid |N(H)/H|\)，故\(N(H)/H\)有\(p\)階子群\(K/H\)，其中\(|K|=p^{k+1}\)，且\(H\trianglelefteq K\)。這就構造出了\(p^{k+1}\)階子群，繼而可以構造所有\(p^i,(0\leqslant i\leqslant s)\)階子群，其中\(p^s\)階子群也叫\(\text{Sylow}\:p\)-子群。
\[G=Hx_1H\:\cup\:Hx_2H\:\cup\cdots\cup\:Hx_rH\tag{8}\]
\[G=Hx_1K\:\cup\:Hx_2K\:\cup\cdots\cup\:Hx_rK\tag{9}\]
顯然每個\(\text{Sylow}\:p\)-子群的共軛也是\(\text{Sylow}\:p\)-子群，反之對兩個\(\text{Sylow}\:p\)-子群\(K,H\)，考察其重陪集分解（9）。因為\(p\nmid [G:H]\)，而右側重陪集除\(F_H\)外都有\(p\mid [Hx_iK:H]\)，故有\(F_H>1\)。即存在\(HxK=xK\)，這就有\(x^{-1}Hx=K\)，從而\(H,K\)共軛。既然所有的\(\text{Sylow}\:p\)-子群是一個共軛子群類，而穩定子為\(N(H)\)，故\(\text{Sylow}\:p\)-子群的個數為\(d=[G:N(H)]\)，首先當然有\(d\mid|G|\)。其次，容易有\(p\mid [G:H]-[N(H):H]\)，即\(p\mid (d-1)[N(H):H]\)，從而\(p\mid d-1\)。總結這兩段的討論就是重要的西羅定理（\(G\)的階為\(p^sm,p\nmid m\)）：
（1）西羅第一定理：存在\(p^i,(0\leqslant i\leqslant s)\)階子群，且對任意\(p^k,(k<s)\)階子群\(H\)都有\(p^{k+1}\)階子群\(K\)使得\(H\trianglelefteq K\)；
（2）西羅第二定理：所有\(\text{Sylow}\:p\)-子群共軛；
（3）西羅第三定理：\(\text{Sylow}\:p\)-子群個數\(n\)滿足：\(n\mid m\)且\(n\equiv 1\pmod{p}\)。
西羅定理為研究有限群的結構提供了非常好的工具，如果\(\text{Sylow}\:p\)-子群僅有\(1\)個，那它必為正規子群，可以將群拆分為\(\text{Sylow}\:p\)-子群及其商群來研究。如果\(\text{Sylow}\:p\)-子群有\(n>1\)個，考慮它們的共軛關系，已知可以有一個從\(G\)到\(S_n\)的同態映射，這就說明了\(G\)有同態於\(S_n\)的商群。
在上面我們得到過結論：\(pq\)階交換群是循環群。如果不要求是交換群，但\(p\nmid q-1,q\nmid p-1\)，則\(p\)-子群和\(q-\)子群都是正規子群且無非平凡交集，也可以證明它們是可交換的。之前的證明同樣成立，它還是個循環群。利用這個結論，很多有限群都可以確定是循環群。
這個正規性還使得\(\text{Sylow}\:p\)-子群可參與有限群的分解。若有\(|G|=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_s^{e_s}\)，且\(\text{Sylow}\:p_k\)-子群\(P_k\)都是正規子群（比如上面的條件），你可以證明有下式成立。而把結果用到交換群上則是顯然成立的。並且對任意\(d\mid|G|\)，設\(d=p_1^{e'_1}p_2^{e'_2}\cdots p_s^{e'_s}\)。由Sylow定理知，\(P_k\)中總有\(p_k^{e'_k}\)階子群\(H_k\)，則顯然\(H_1\times H_2\times \cdots \times H_s\)的階就是\(d\)。這就是說拉格朗日定理的反命題對滿足條件的有限群是成立的，對任意\(d\mid|G|\)都有階為\(d\)的子群。
\[G=P_1\times P_2\times \cdots \times P_s\tag{10}\]
考慮幾個習題：
• \(P\)為\(\text{Sylow}\:p\)-子群，若\(p\)-群\(H\)滿足\(H\subseteq N(P)\)，則\(H\subseteq P\)；
• 同構意義下，\(6\)階群只有循環群和\(S_3\)；
• 若\(|G|=p^2q\)或\(|G|=pqr\)，則\(G\)不是單群。
2.3 有限交換群
剛才我們把有限交換群分解成了\(\text{Sylow}\:p\)-子群的直積，現在來看交換群\(\text{Sylow}\:p\)-子群\(P\)能否再進一步分解。考察\(P\)的一組生成元\(\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)，由於是交換群，則必定有\(G=\langle a_1\rangle\langle a_2\rangle\cdots\langle a_n\rangle\)。接下來我們需要找使得表達式成為直積的生成元，主要思想是利用現有生成元，如果不是直積，則能構造出階之和更小的生成元，用無窮遞降法就構造出直積表達式。這樣每個\(\text{Sylow}\:p\)-子群\(P\)都被分解成了若干循環群的直積，進而可以有任何有限交換群\(G\)都可以分解為循環群的直積，並且每個循環群的解都是\(p\)-群。它們的生成元被稱為\(G\)的基，生成元的階被稱為初等因子，由此兩個有限交換群同構的充要條件就是它們的初等因子組相等。
\[G=\langle a_1\rangle\times\langle a_2\rangle\times\cdots\times\langle a_n\rangle,\quad |a_k|=p_i^j\tag{11}\]
可以將\(G\)的初等因子分成多組\(r_1,r_2,\cdots,r_m\)，並且滿足\(r_k\mid r_{k+1}\)。相應地就有下式成立。\(r_k\)叫的不變因子，容易證明不變因子組相等也是有限交換群同構的充要條件。其實還可以證明，對任意初等因子組合不變因子組，都可以構造出相應的有限循環群，以上都稱有限交換群基本定理（后面會從自由群的角度重新論證）。
\[G=\langle b_1\rangle\times\langle b_2\rangle\times\cdots\times\langle b_n\rangle,\quad |b_k|\mid|b_{k+1}|\tag{12}\]
關於群論的基礎知識，我們在這里就匆匆結束了。下面我打算接着學習抽象代數的其它結構，后面會以更高的視角回來繼續介紹群論，相信那個時候的理解會深刻一些。