1. 代數系統 1.1 運算律 　　我們已經知道函數的概念，它表示集合間的一種映射關系。多數場景里，像和原像往往是同一個集合，這里就討論這樣的函數。一元函數\(f:A\mapsto A\)也被稱為集合\(A\)上的變換，其中雙射的變換也稱為置換。一般如下式的多元函數，也被稱為集合 ...

抽象代數學習筆記（8）循環群 在講子群的時候，我們提出了生成子群的概念 \(<S>\)，特別的，如果 \(S=\{s\}，有<S>=<s>\)。根據這些，我們可以引出循環群的概念： 群\(G\)稱為循環群，如果有 \(g\in G\)使得\(G=< ...

有限群表示論的一些基本定理：1、有限群的不同的（非等價的）不可約表示的個數是有限的，並且等於這個群的共軛元素類的個數。 1a、只有有限多不可約表示，它的數目正好等於有限群G的共軛類的數目。 1b、G的不可約表示的個數（確切到同構）等於G的共軛類的個數。G的兩個元素t和t'說是共軛的，如果存在s ...

是古老算術的推廣和發展，在初等代數中開始用變量代替具體的數字，它的中心是解方程 抽象代數(abs ...

習題 4.證明：置換群$G$中若含有奇置換，則$G$必有指數為$2$的子群. 證明 易知$G$中若有奇置換，則奇偶置換各半.不妨設$G$的偶置換為 $${\rm id}=\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{m}$$ 而奇置換$\phi_ ...

抽象代數的課程我是第二次上了，可是在群論部分知識點還是缺乏理解、融會和梳理，而且有一種知識點零碎無規律的感覺。我缺乏一種宏觀上俯視全局的經驗，因此被老師上課抄板書式的講課帶得“迷惘、疲勞而無所得”。這里，我希望提供一個全局的視角，將抽象代數中的群論、群表示論和一些李代數稍作梳理匯總。 注意本文完全 ...

1. 同態與理想 　　同態定理和正規子群在分析群的結構中起到了重要的作用，我們可以對環進行同樣的討論。若環\(R_1\)到另一個系統\(R_2\)有映射\(f:R_1\mapsto R_2\)，滿足公式（1），這樣的映射稱為同態映射。若映射為滿的，則稱\(R_1,R_2\)同態，記作\(R_1 ...

1. 陪集 　　現在繼續研究群的分解，先來討論一般子群之間、以及子群和父群的關系。首先根據子群的判定條件，如果\(H,K\leqslant G\)，則很容易有\(H\cap K\leqslant G\)。那么\(H\cup K\)呢?當然這里\(H,K\)都是真子群，並且不互相包含。從\(H ...