抽象代數學習筆記（8）循環群
在講子群的時候，我們提出了生成子群的概念 \(<S>\)，特別的，如果 \(S=\{s\}，有<S>=<s>\)。根據這些，我們可以引出循環群的概念：
群\(G\)稱為循環群，如果有 \(g\in G\)使得\(G=<g>\)。
其實之間說過的旋轉變換就可以以循環群的形式出現。比如：
這樣 \(g,g^2,g^3\)在矩陣乘法下構成群。
上面舉的例子是一個有限群，應該不難發現，這種循環群的特點是，生成元素與通過冪運算（在乘法群）得到的元素可以構成群。
上面的例子還有個特點，\(g^4=g,g^3=e\)。這是不少循環群的：
在循環群 \(G=<g>\) 中，如果有不同的整數 \(r,k\)使得\(g^r=g^k\)，則存在整數\(m\)使得：
- \(g^m=e\)
- 當 \(1\le i<j\le m, g^i\neq g^j\)
- 若有整數t，\(g^t=e\)，則 \(m整除t\)
- \(<g>=\{e,g,g^2,...,g^{m-1}\}\)
如果對於任意不同的 \(r,k,g^r\neq g^k\)，那么 \(<g>\) 是一個無限群。
現在，根據是否存在不同的整數 \(r,k\) 使得\(g^r=g^k\)，我們可以將循環群分為兩類。而這兩類循環群在結構上也具有各自的性質：
若存在不同的整數 \(r,k\) 使得\(g^r=g^k\)，那么 \(<g>=\{e,g,g^2,...,g^{m-1}\}\)，對任意的 \(1\le i<j\le m, g^i\neq g^j\)。
若對任意不同的整數 \(r,k\) 使得\(g^r\neq g^k\)，那么 \(<g>=\{...,g^{-2},g^{-1},e,g,g^2,...\}\)
有時也將這兩條性質成為循環群結構定理。
比如整數在加法下構成的群，就有第二條性質陳述中的那種結構，而整數加法群可以寫成 \(<1>\)，類似的例子還有很多，這兒就不一一舉出了。
下篇博文的主題是階數，它與有限循環群有些關系，大家可以考慮一下第一種循環群中 \(g^m=e\)這條性質。