線性代數學習筆記——第三章

肝了兩個多小時，還是肝完了一篇筆記，借鑒了很多其他大佬的整理。（不過基本上還是宋浩老師的原話），今天的任務算是完成一半了，我東某人真是可悲！

向量的定義

• n維向量：n個數組成的有序數組。
• 行向量（\(\alpha\)₁,\(\alpha\)₂,\(\alpha\)₃)。
• 列向量將上述的豎着寫。
• 零向量：分量全部為零。
• 負向量：取相反數。
• 向量相等：同維數，元素對應相等。
• 只有同維向量才能比較大小，以及相加。
• k\(\alpha\) = 0 \(\Leftrightarrow\) k = 0 or \(\alpha\) = 0 。
  • 矩陣：AB = 0 \(\nRightarrow\) A=0 or B=0。

向量間的線性關系

• 線性關系：

  • 零向量可由任意向量組表示。
  • 向量組中任一向量可由向量組表示eg：\(\alpha\)₁=\(\alpha\)₁ + 0\(\alpha\)₂ + 0\(\alpha\)₃。
  • 任意向量都可由n維單位向量組表示。

• 向量組的等價：①：同維。②：兩個向量組可以相互線性表示。

• 線性組合：β、α₁……α_n。若β可以用α向量組表示出來，那么就叫β是α向量組的線性組合（或者稱β可以由α向量組線性表示）。同時在表示的過程中系數可以全取零。

• 反身性、對稱性、傳遞性均適用。

• 線性相關：

  • α₁、α₂……α_n是n個m維向量組，若存在一組不全為0的k₁,k₂……k_n,使得k₁α₁ + ……+ k_nα_n= 0，那么則叫α₁……α_n是線性相關。

• 線性無關：

  ①：不是線性相關。

  ②：找不到一組不全為0的k₁……k_n滿足線性相關的條件。

  ③：使得k₁+k₂+……+k_n=0的k₁，k₂……必定全為零。

• 向量組中兩向量成比例，向量組必線性相關。

• 含零向量的向量組必線性相關。

• 一個非零向量必無關。

• 一個向量α相關 \(\Leftrightarrow\) α=0 。

• 部分組線性相關\(\longrightarrow\) 整體組線性相關。 整體組線性無關 \(\longrightarrow\) 部分組線性無關。

• 線性無關的向量組，它的接長向量組也線性無關。 線性相關的向量組，它的截短向量組也線性相關。

• n個n維向量（維數 = 個數）構成的行列式D \(\neq\) 0,那么線性無關，否則相關。

• 四大定理：

  • 定理一：α₁……α_s線性相關 \(\Leftrightarrow\) 至少一個向量可由其余向量線性表示。

    • 證明：因為α₁……α_s線性相關，所以找到不全為0的k₁+k₂+……+k_s，使得k₁α₁+……+k_sα_s = 0。假設k₁ \(\neq\) 0，則α₁ = -\(\frac{k2}{k1}\)α₂ -……-\(\frac{ks}{k1}\)α_s 、所以設α₁=mα₂ + ……+m_s-1α_s (m類型的系數可以為零)。-α₁+mα₂ + ……+m_s-1α_s = 0，不管m是什么，總有-1這個非零系數。（我是個哈比蒟蒻，就為了這三排，敲了十多分鍾。）

      
      

  • 定理二：α₁……α_s線性無關； α₁……α_s，β線性相關，則β可由α₁……α_s唯一線性表示。

  • 定理三（替換定理）：

    • α₁……α_s線性無關，可由β₁……β_t線性表示，則s \(\leq\) t 。

    • 逆否命題：α₁……α_s可由β₁……β_t表示，若s > t ，則α₁……α_s線性相關。

    • 推論一：若m>n，則m個n維向量一定線性相關。

    • 推論二：兩個等價的線性無關組含向量個數相同。eg：s \(\leq\) t , t \(\leq\) s \(\Rightarrow\) s=t。

  
  
  
  

向量組的秩

• 極大線性無關組：α₁,α₂,α₃,α₄,α₅,……α_s 的部分組α₁,α₂,α₃,……α_t滿足：①：α₁,α₂,α₃,……α_t無關。②：每個向量均可由α₁,α₂,α₃,……α_t表示，則稱α₁,α₂,α₃,……α_t為極大線性無關組。

• 極大線性無關組的性質：

  • 任意兩個極大線性無關組，含向量個數相同。

  • 全是零的向量組，沒有極大線性無關組，秩為零。

  • 一個線性無關的向量組，它的極大無關組就是它本身。

  • 任何一個向量組和它的極大無關組是等價的。

    
    

• 向量組的秩：

  • 極大無關組含向量個數，記作r(α₁,α₂,α₃,α₄,α₅,……α_s )
  • 0 \(\leq\) r(α₁,α₂,α₃,α₄,α₅,……α_s ) \(\leq\) min{向量的個數，向量的維數}。
  • 當α₁,α₂,α₃,α₄,α₅,……α_s無關 \(\Leftrightarrow\) r=s。
  • 當α₁,α₂,α₃,α₄,α₅,……α_s相關 \(\Leftrightarrow\) r<s。

• 定理：若α₁……α_s可由β₁……β_t表示，那么 r(α₁,……α_s ) \(\leq\) r(β₁……β_t )。

• 等價向量組有相同的秩，但是具有相同秩的向量組不一定是等價的。

  
  

• 行秩=列秩=矩陣的秩r(A)。

• 定理：r(AB) \(\leq\) min{r(A),r(B)}。

• 極大線性無關組的求法：

  • 核心定理：初等行變換不改變矩陣列向量組的線性關系。

    步驟：

    • 不管原向量是行或列，均按列構成矩陣。
    • 只做初等行變換，化為行簡化階梯形。
    • 首非零元所在列做極大無關組。
    • 其余向量表示系數直接寫出，全0的行不用看。